Закон радиоактивного распада (ЕГЭ-ОГЭ)

В приведённом уравнении неотрицательная константа ${\displaystyle \lambda }$ — постоя́нная распа́да, определяющая вероятность радиоактивного распада за единицу времени и имеющая размерность с⁻¹. Минус перед λ показывает, что число радиоактивных ядер убывает со временем.

Решение этого дифференциального уравнения записывается в виде:

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-\lambda t},}$

где ${\displaystyle N_{0}}$ обозначает начальное число атомов, то есть число атомов при ${\displaystyle t=0.}$

Следовательно, количество радиоактивных атомов уменьшается с течением времени по экспоненциальному закону. Скорость распада, определяемая как число распадов в единицу времени,

${\displaystyle \mathrm {I} (t)=-{\frac {dN}{dt}},}$

также демонстрирует экспоненциальное затухание. При дифференцировании зависимости ${\displaystyle N(t)}$ по времени получаем:

${\displaystyle \mathrm {I} (t)=-{\frac {d}{dt}}(N_{0}e^{-\lambda t})=\lambda N_{0}e^{-\lambda t}=\mathrm {I} _{0}e^{-\lambda t},}$

где ${\displaystyle \mathrm {I} _{0}}$ обозначает скорость распада при ${\displaystyle t=0.}$

Таким образом, временная эволюция как числа нераспавшихся ядер, так и скорости распада задаётся одной и той же постоянной ${\displaystyle \lambda }$^[1][2].

Помимо константы распада ${\displaystyle \lambda }$, процесс радиоактивного распада описывают ещё две связанные с ней константы^[3].

Из закона радиоактивного распада выводят формулу для среднего времени жизни атома. Число атомов, распавшихся в момент ${\displaystyle t}$ за интервал ${\displaystyle dt}$, равно ${\displaystyle -dN}$, а общее их время жизни составляет ${\displaystyle -t\,dN}$. Среднее время жизни определяют интегрированием по всему процессу распада:

${\displaystyle \tau =-{\frac {1}{N_{0}}}\int _{N_{0}}^{0}t\,dN=\lambda \int _{0}^{\infty }te^{-\lambda t}\,dt={\frac {1}{\lambda }}.}$

Подставив полученное значение в экспоненциальные зависимости ${\displaystyle N(t)}$ и ${\displaystyle \mathrm {I} (t)}$, видно, что за время ${\displaystyle \tau }$ число радиоактивных атомов и активность образца (количество распадов в секунду) снижаются в e раз^[1].

На практике чаще используют другую временную характеристику — период полураспада ${\displaystyle T_{1/2}}$, то есть интервал, за который число радиоактивных атомов или активность образца уменьшаются вдвое^[1].

Связь этой величины с постоянной распада можно вывести из соотношения ${\displaystyle {\frac {N(T_{1/2})}{N_{0}}}=e^{-\lambda T_{1/2}}=1/2,}$ откуда:

${\displaystyle T_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda }}=\tau \ln 2\approx 0,693\tau .}$