Задача о паре ближайших точек

Пара ближайших точек может быть вычислена за время O(n²) путём выполнения полного перебора. Чтобы это сделать, можно вычислить расстояние между всеми n(n − 1) / 2 парами точек, затем выбрать пару с наименьшим расстоянием, как показано ниже.

minDist = infinity
for i = 1 to length(P) - 1
 for j = i + 1 to length(P)
  let p = P[i], q = P[j]
  if dist(p, q) < minDist:
   minDist = dist(p, q)
   closestPair = (p, q)
return closestPair

Задача может быть решена за время ${\displaystyle O(n\log n)}$ с помощью рекурсивного подхода «разделяй и властвуй», например, так^[1]:

1. Сортируем точки согласно их x-координатам;
2. Разбиваем множество точек на два подмножества равного размера вертикальной прямой ${\displaystyle x=x_{mid}}$;
3. Решаем задачу рекурсивно на левой и на правой частях. Это приводит к левому минимальному расстоянию ${\displaystyle d_{Lmin}}$ и правому минимальному расстоянию ${\displaystyle d_{Rmin}}$, соответственно;
4. Находим минимальное расстояние ${\displaystyle d_{LRmin}}$ среди пар точек, из которых одна точка лежит слева от вертикальной линии, а другая точка лежит справа от прямой;
5. Конечным ответом будет минимальное значение среди ${\displaystyle d_{Lmin}}$, ${\displaystyle d_{Rmin}}$ и ${\displaystyle d_{LRmin}}$.

Оказывается, что шаг 4 может быть выполнен за линейное время. Снова, наивный подход потребовал бы вычисление расстояний для всех пар слева/справа, то есть квадратичное время. Ключевое наблюдение основывается на следующем свойстве разреженности множества точек. Мы уже знаем, что пара ближайших точек не находятся на большем расстоянии, чем ${\displaystyle \mathrm {dist} =\min(d_{Lmin},d_{Rmin})}$. Поэтому, для каждой точки p слева от разделяющей прямой мы должны сравнить расстояния до точек, которые лежат в прямоугольнике с размерами (dist, 2 ⋅ dist) как показано на рисунке. И этот прямоугольник может содержать не более шести точек, попарное расстояние между которыми не менее ${\displaystyle d_{Rmin}}$. Таким образом, достаточно вычислить на 4-м шаге 6n расстояний^[6]. Рекуррентное отношение для числа шагов может быть записано как ${\displaystyle T(n)=2T({\tfrac {n}{2}})+O(n)}$, которое может быть решено с помощью основной теоремы для рекурренции разделяй и властвуй, что даёт ${\displaystyle O(n\log n)}$.

Так как пара ближайших точек определяют ребро в триангуляции Делоне и соответствуют двум смежным ячейкам в диаграмме Вороного, пара ближайших точек может быть определена за линейное время, если дана одна из этих двух структур. Вычисление триангуляции Делоне или диаграммы Вороного занимает время ${\displaystyle O(n\log n)}$. Эти подходы не эффективны для размерностей d>2, в то время как алгоритм «разделяй и властвуй» может быть обобщён до времени выполнения ${\displaystyle O(n\log n)}$ для любого постоянного значения размерности d.

Динамическая версия для задачи пары ближайших точек ставится следующим образом:

• Если дано динамическое множество объектов, найти алгоритмы и структуры данных для эффективного перевычисления пары ближайших точек каждый раз, когда объект вставляется или удаляется.

Если ограничивающий прямоугольник для всех точек заранее известен и доступна функция floor с постоянным временем работы, то была предложена структура данных с ожидаемой памятью O(n), которая поддерживает ожидаемое время (среднее время) вставки и удаления O(log n) и постоянное время запроса. Если задача модифицирована для модели алгебраического дерева принятия решения, вставки и удаления потребуют среднее время ${\displaystyle O(\log ^{2}n)}$^[7]. Следует отметить, что сложность указанной выше динамической задачи о паре ближайших точек экспоненциально зависит от размерности d, поэтому алгоритм становится менее пригодным для задач высокой размерности.

Алгоритм для динамической задачи пары ближайших точек в пространстве размерности d разработал Сергей Беспамятных в 1998 году^[8]. Точки могут быть вставлены и удалены за время O(logn) на одну точку (в худшем случае).