Задача Бернштейна

При каких ${\displaystyle n}$ график функции, определённой на всём ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, являющийся минимальной поверхностью в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$, обязан являться плоским?

Ответ: это верно при ${\displaystyle n\leqslant 7}$ и неверно при ${\displaystyle n\geqslant 8}$. Соответствующий пример функции ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ можно найти среди функций вида

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8})=F(u,v)}$,

где

${\displaystyle u={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}}},\quad {\text{и}}\quad v={\sqrt {x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}}}.}$

Задача Бернштейна оказалась напрямую связана с вопросом существования в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ неплоского конуса, минимизирующего площадь. Конкретным примером такой гиперповерхности является поверхность

${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}}$.

• В 1914 году, Бернштейн доказал, что утверждение задачи верно при ${\displaystyle n=2}$.^[1] (В той же статье была доказана теорема Бернштейна о седловом графике.)
• В 1962 году Флеминг дал другое доказательство теоремы Бернштейна, выводя его из того, что не существует неплоских конусов, минимизирующих площадь, в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.^[2]
• В 1965 году де Джорджи показал, что если в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ нет минимизирующих площадь неплоских конусов, то для ${\displaystyle n}$ верен аналог теоремы Бернштейна. В частности, отсюда следовал случай ${\displaystyle n=3}$.^[3]
• В 1966 году Альмгрен доказал отсутствие минимизирующих площадь неплоских конусов в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$, и таким образом, обобщил теорему Бернштейна на ${\displaystyle n=4}$.
• В 1968 году Саймонс показал отсутствие минимизирующих площадь неплоских конусов в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}$ и, таким образом, обобщил теорему Бернштейна на ${\displaystyle n\leqslant 7}$.^[4]
  • Он также привел примеры локально устойчивых конусов в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$, но не смог доказать, что они минимизируют площадь.
• В 1969 году Бомбиери, де Джорджи и Джусти доказали, что конусы Саймонса в самом деле минимизирующие, и что в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ при ${\displaystyle n\geqslant 8}$ существуют графики, которые являются минимальными, но не плоскими.^[5]
  • В сочетании с результатом Саймонса, это полностью решает задачу Бернштейна.