Жёсткость (математика)

Некоторые примеры:

1. Гармонические функции на единичном диске жёстки в том смысле, что они однозначно определяются своими граничными значениями.
2. Голоморфные функции определяются набором всех производных в одной точке. Гладкая функция из вещественной прямой в комплексную плоскость не определяется всеми своими производными в одной точке, но это верно, если дополнительно требуется возможность продолжения функции на окрестность вещественной прямой в комплексной плоскости. Лемма Шварца является примером теоремы о жёсткости.
3. Согласно основной теореме алгебры, многочлены над C жёстки в том смысле, что любой многочлен полностью определяется своими значениями на любом бесконечном множестве, например, на N или на единичном диске. Согласно предыдущему примеру, многочлен также определяется в классе голоморфных функций конечным набором его ненулевых производных в одной точке.
4. Линейные отображения L(X, Y) между векторными пространствами X, Y жёстки в том смысле, что любое L ∈ L(X, Y) полностью определяется своими значениями на любом наборе базисных векторов пространства X.
5. Теорема о жёсткости Мостова утверждает, что геометрическая структура многообразий с отрицательной кривизной определяется их топологической структурой.
6. Хорошо упорядоченное множество жёстко в том смысле, что единственная (сохраняющая порядок) автоморфизм на нём — это тождественное отображение. Следовательно, изоморфизм между двумя заданными хорошо упорядоченными множествами будет единственным.
7. Теорема Коши о геометрии выпуклых многогранников утверждает, что выпуклый многогранник однозначно определяется геометрией своих граней и комбинаторными правилами смежности.
8. Теорема единственности Александрова утверждает, что выпуклый многогранник в трёхмерном пространстве однозначно определяется метрическим пространством геодезических линий на его поверхности.
9. Результаты о жёсткости в K-теории устанавливают изоморфизмы между различными группами алгебраической K-теории.
10. Жёсткие группы в обратной задаче Галуа.

В комбинаторике термин «жёсткий» также используется для определения понятия жёсткой сюръекции, то есть такой сюръекции ${\displaystyle f:n\to m}$, для которой выполняются следующие эквивалентные условия:^[1]

1. Для любых ${\displaystyle i,j\in m}$, ${\displaystyle i<j\implies \min f^{-1}(i)<\min f^{-1}(j)}$;
2. Если рассматривать ${\displaystyle f}$ как ${\displaystyle n}$-кортеж ${\displaystyle {\big (}f(0),f(1),\ldots ,f(n-1){\big )}}$, то первые появления элементов из ${\displaystyle m}$ идут в возрастающем порядке;
3. ${\displaystyle f}$ отображает начальные отрезки множества ${\displaystyle n}$ в начальные отрезки множества ${\displaystyle m}$.

Это связано с приведённым выше определением жёсткости тем, что каждая жёсткая сюръекция ${\displaystyle f}$ однозначно определяет и однозначно определяется разбиением ${\displaystyle n}$ на ${\displaystyle m}$ частей. Для заданной жёсткой сюръекции ${\displaystyle f}$ разбиение задаётся как ${\displaystyle n=f^{-1}(0)\sqcup \cdots \sqcup f^{-1}(m-1)}$. Обратно, если задано разбиение ${\displaystyle n=A_{0}\sqcup \cdots \sqcup A_{m-1}}$, упорядочим множества ${\displaystyle A_{i}}$ так, что ${\displaystyle A_{i}\prec A_{j}\iff \min A_{i}<\min A_{j}}$. Если ${\displaystyle n=B_{0}\sqcup \cdots \sqcup B_{m-1}}$ — это ${\displaystyle \prec }$-упорядоченное разбиение, то функция ${\displaystyle f:n\to m}$, определённая как ${\displaystyle f(i)=j\iff i\in B_{j}}$, будет жёсткой сюръекцией.