Обобщённая производная Грюнвальда — Летникова

В 1867 году появляется работа А. К. Грюнвальда, в которой развивается подход к дробному интегродифференцированию на основе равенства ${\displaystyle f_{\pm }^{(\alpha )}(x)=\lim _{h\to +0}{\frac {(\Delta _{\pm h}^{\alpha }f)(x)}{h^{\alpha }}},\,\alpha >0}$, однако рассуждения здесь носят ещё эмпирический характер. Первое построение теории дробного интегродифференцирования на таком исходном определении осуществил А. В. Летников в 1868 году. Его работа содержит строгое и обстоятельное построение теории дробного интегродифференцирования. Работа А. В. Летникова была первой работой, содержащей обстоятельный исторический обзор развития дробного исчисления. Однако, на долгие годы подход Грюнвальда — Летникова остаётся в забвении ввиду явной предпочтительности формы интегродифференцирования Римана — Лиувилля. Спустя годы, с 1928 по 1964 гг. появляются работы учёных, в которых излагается подход Грюнвальда — Летникова на более современном языке, даны примеры, рассмотрены связи с другими формами. Новую жизнь подход Грюнвальда — Летникова обрёл с публикацией работ У. Вестфаль (1974 г.), П. Бутцера (1975 г.), в которых этот подход был переосмыслен и различные классические вопросы дробного исчисления были связаны с задачами функционального анализа и теории функций. Тем не менее подход к дробному дифференцированию и интегрированию через конечные разности, предложенный А. Грюнвальдом менее широко употребляется в математическом анализе по сравнению с другими (Римана—Лиувилля, Маршо и др.)^[1].

В А. Грюнвальд и А. В. Летников развивают подход к дробному интегродифференцированию, основанный на распространении формулы Б. Римана

${\displaystyle f^{(n)}(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {(\Delta _{h}^{n}f)(x)}{h^{n}}}}$, (где ${\displaystyle (\Delta _{h}^{n}f)(x)}$ — конечная разность функции ${\displaystyle f(x)}$), на случай нецелых ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle D^{\alpha }f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {(\Delta _{h}^{\alpha }f)(x)}{h^{\alpha }}}}$^[2].

Разности дробного порядка

Для функции ${\displaystyle f(x)}$, заданной на всей прямой, разность выражается следующим соотношением:

${\displaystyle (\Delta _{h}^{\alpha }f)(x)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\binom {\alpha }{k}}f(x-kh),\,\alpha >0}$, где ${\displaystyle {\binom {\alpha }{k}}}$— биномиальные коэффициенты.

Для ${\displaystyle h>0}$ эту разность называют левосторонней и правосторонней, если ${\displaystyle h<0}$^[3].

Дробная производная порядка ${\displaystyle \alpha }$ от ${\displaystyle F}$ определяется по формуле Маршо:

${\displaystyle f(x)={\frac {\alpha }{\Gamma (1-\alpha )}}\int \limits _{0}^{\infty }\left\{{\frac {F(x)-F(x-t)}{t^{1+\alpha }}}\right\}\,dt,\,0<\alpha <1}$^[4].

Пространство L_p

Пусть интервал ${\displaystyle \Omega =[a,b],\,-\infty \leqslant a<b\leqslant \infty }$. Через ${\displaystyle L_{p}=L_{p}(\Omega )}$ обозначается множество всех измеримых на заданном интервале ${\displaystyle \Omega }$ комплекснозначных функций ${\displaystyle f(x)}$, для которых ${\displaystyle \int \limits _{\Omega }|f(x)|^{p}\,dx<\infty }$. Здесь и всюду в дальнейшем ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$. Норма пространства ${\displaystyle L_{p}(\Omega )}$ выражается формулой^[5]: ${\displaystyle \lVert f\rVert _{L_{p}(\Omega )}=\left\{\int \limits _{\Omega }|f(x)|^{p}\,dx\right\}^{1/p}}$.

Через ${\displaystyle X=X(R^{1})}$ будет обозначено одно из пространств ${\displaystyle L_{p}(R^{1})}$, ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty }$ , ${\displaystyle C(R^{1})}$, а в периодическом случае ${\displaystyle X_{2\pi }=X(0,2\pi )}$ будет означать одно из подобных пространств на ${\displaystyle [0,2\pi ]}$.

Функция ${\displaystyle f_{\pm }^{\alpha )}(x)=\lim _{h\to +0}{\frac {(\Delta _{\pm h}^{\alpha }f)(x)}{h^{\alpha }}},\,\alpha >0}$ называется дробной производной Грюнвальда—Летникова.

В данной формуле предел может рассматриваться, в зависимости от изучаемых вопросов, для каждого ${\displaystyle x}$, почти для всех ${\displaystyle x}$ или по норме пространства ${\displaystyle X}$ (или ${\displaystyle X_{2\pi }}$).

В случае, когда предел понимается по норме пространства ${\displaystyle X}$ (${\displaystyle X_{2\pi }}$), производную называют сильной производной Грюнвальда—Летникова в ${\displaystyle X}$ (${\displaystyle X_{2\pi }}$).

Вместо вышеприведённой формулы можно ввести дробное дифференцирование следующим симметричным образом:

${\displaystyle f^{\alpha )}(x)={\frac {1}{2\cos(\alpha \pi /2)}}\lim _{h\to 0}{\frac {(\Delta _{h}^{\alpha }f)(x)+(\Delta _{-h}^{\alpha }f)(x)}{|h|^{\alpha }}}}$.

В этом случае оно совпадает с операцией, обратной потенциалу Рисса. Поэтому такой вид дробной производной можно назвать производной Грюнвальда — Летникова — Рисса^[3].

Основываясь на формуле (1), получают выражение

${\displaystyle J_{a+}^{\alpha }\varphi =\lim _{h\to +0}h^{\alpha }\sum _{j=0}^{\left[{\frac {x-a}{h}}\right]}(-1)^{j}{\binom {-\alpha }{j}}\varphi (x-jh)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\lim _{h\to +0}h^{\alpha }\sum _{j=0}^{\left[{\frac {x-a}{h}}\right]}{\frac {\Gamma (j+\alpha )}{\Gamma (j+1)}}\varphi (x-jh)}$. (2)

Аналогично определяется ${\displaystyle J_{b-}^{\alpha }\varphi }$. Эти конструкции совпадают с дробным интегралом Римана—Лиувилля.

Теорема. Пусть ${\displaystyle \alpha >0}$ и ${\displaystyle \varphi (x)\in L_{1}(a,b)}$. Предел (2) существует почти для всех ${\displaystyle x}$ и имеет вид: ${\displaystyle J_{a+}^{\alpha }\varphi ={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int \limits _{0}^{x-a}\varphi (x-t)t^{\alpha -1}dt}$^[7].