Группа перестановок ранга 3

Примитивные группы перестановок ранга 3 распадаются на следующие классы:

• Камерон^[4] классифицировал группы, такие, что ${\displaystyle T\times T\leqslant G\leqslant T_{0}\operatorname {wr} Z/2Z}$, где цоколь T группы T₀ прост, а T₀ является 2-транзитивной группой степени ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$.
• Либек^[5] классифицировал группы с регулярными элементарными абелевыми нормальными подгруппами
• Баннай^[6] классифицировал группы, цоколь которых является простой знакопеременной группой
• Кантор^[7] классифицировал группы, цоколь которых является простой классической группой
• Либек и Саксл^[8] классифицировали группы, цоколь которых является простой классической исключительной или спорадической группой

Если G — любая 4-транзитивная группа, действующая на множестве S, то её действие на пары элементов S является группой перестановок ранга 3^[9]. В частности, большинство знакопеременных групп, симметрических групп и групп Матьё имеют 4-транзитивные действия, а потому принадлежат группам перестановок ранга 3.

Проективная полная линейная группа, действующая на прямые в проективном пространстве размерности как минимум 3, является группой перестановок ранга 3.

Некоторые группы 3-перестановок являются группами перестановок ранга 3 (по действию на перестановки).

Как правило, точечный стабилизатор группы перестановок ранга 3, действующий на одну из орбит, является группой перестановок ранга 3. Это даёт некоторые «цепочки» групп перестановок ранга 3, такие как цепочка Судзуки и цепочка, завершающаяся группами Фишера.

Некоторые необычные группы перестановок ранга 3 перечислены ниже (многие из них взяты из работы Либека и Саксла^[8]).

Для каждой строки таблицы ниже, в столбце «размер» число слева от знака равно показателю группы перестановок^[10] перестановочной группы для группы перестановок, упомянутой в строке. Сумма справа от знака равно показывает длину трёх орбит стабилизаторов точки группы перестановок. Например, выражение 15 = 1+6+8 в первой строке таблицы означает, что группа перестановок имеет показатель 15 и длины трёх орбит стабилизаторов точки группы перестановок равны 1, 6 и 8 соответственно.

Группа	Стабилизатор точки	размер	Комментарии
${\displaystyle \mathrm {A} _{6}=\mathrm {L} _{2}(9)=}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} _{4}(2)^{\prime }=\mathrm {M} _{1}0^{\prime }}$	${\displaystyle \mathrm {S} _{4}}$	15 = 1+6+8	Пары точек или множества из 3 блоков по 2 в 6-точечном представлением перестановок; два класса
${\displaystyle \mathrm {A} _{9}}$	${\displaystyle \mathrm {L} _{2}(8):3}$	120 = 1+56+63	Проективная прямая P1(8); два класса
${\displaystyle \mathrm {A} _{10}}$	${\displaystyle (\mathrm {A} _{5}\times \mathrm {A} _{5}):4}$	126 = 1+25+100	Множество 2 блоков из 5 в естественном 10-точечном представлении перестановок
${\displaystyle \mathrm {L} _{2}(8)}$	${\displaystyle 7:2=\mathrm {Dih} (7)}$	36 = 1+14+21	Пары точек в P1(8)
${\displaystyle \mathrm {L} _{3}(4)}$	${\displaystyle \mathrm {A} _{6}}$	56 = 1+10+45	Гиперовалы в P2(4); три класса
${\displaystyle \mathrm {L} _{4}(3)}$	${\displaystyle \mathrm {PSp} _{4}(3):2}$	117 = 1+36+80	Симплектические полярности P3(3); два класса
${\displaystyle \mathrm {G} _{2}(2)^{\prime }=\mathrm {U} _{3}(3)}$	${\displaystyle \mathrm {PSL} _{3}(2)}$	36 = 1+14+21	цепочка Судзуки
${\displaystyle \mathrm {U} _{3}(5)}$	${\displaystyle \mathrm {A} _{7}}$	50 = 1+7+42	Действие на вершины графа Хоффмана — Синглтона; три класса
${\displaystyle \mathrm {U} _{4}(3)}$	${\displaystyle \mathrm {L} _{3}(4)}$	162 = 1+56+105	Два класса
${\displaystyle \mathrm {Sp} _{6}(2)}$	${\displaystyle \mathrm {G} _{2}(2)=\mathrm {U} _{3}(3):2}$	120 = 1+56+63	Группа Шевалле типа G2, действующая на алгебру октонионов над GF(2)
${\displaystyle \mathrm {\Omega } _{7}(3)}$	${\displaystyle \mathrm {G} _{2}(3)}$	1080 = 1+351+728	Группа Шевалле типа G2, действующая на мнимые октонионы алгебры октонионов над GF(3); два класса
${\displaystyle \mathrm {U} _{6}(2)}$	${\displaystyle \mathrm {U} _{4}(3):2_{2}}$	1408 = 1+567+840	Стабилизатор точки является образом линейного представления, получающегося от «понижения» комплексного представления группы Митчела (комплексной группы отражений) по модулю 2; три класса
M11	${\displaystyle \mathrm {M} _{9}:2=3^{2}:\mathrm {SD} _{16}}$	55 = 1+18+36	Пары точек в 11-точечном представлении перестановок
M12	${\displaystyle \mathrm {M} _{10}:2=\mathrm {A} _{6}.2^{2}=}$ ${\displaystyle \mathrm {P{\Gamma }L} (2,9)}$	66 = 1+20+45	Пары точек или пары комплементарных блоков S(5,6,12) в 12-точечном представлении перестановок; два класса
M22	24:A6	77 = 1+16+60	Блоки S(3,6,22)
J2	${\displaystyle \mathrm {U} _{3}(3)}$	100 = 1+36+63	цепочка Судзуки; действие на вершины графа Холла — Янко
Группа Хигмана — Симса HS	M22	100 = 1+22+77	Действие на вершины графа Хигмана — Симса
M22	${\displaystyle \mathrm {A} _{7}}$	176 = 1+70+105	Два класса
M23	${\displaystyle \mathrm {M} _{21}:}$ ${\displaystyle 2=\mathrm {L} _{3}(4):2_{2}}$ ${\displaystyle =\mathrm {P{\Sigma }L} (3,4)}$	253 = 1+42+210	Пары точек в 23-точечном представлении перестановок
M23	${\displaystyle 2^{4}:\mathrm {A} _{7}}$	253 = 1+112+140	Блоки S(4,7,23)
Группа МакЛафлина McL	${\displaystyle \mathrm {U} _{4}(3)}$	275 = 1+112+162	Действие на вершины графа МакЛафлина
M24	${\displaystyle \mathrm {M} _{22}:2}$	276 = 1+44+231	Пары точек в 24-точечном представлении перестановок
G2(3)	${\displaystyle \mathrm {U} _{3}(3):2}$	351 = 1+126+244	Два класса
G2(4)	J2	416 = 1+100+315	цепочка Судзуки
M24	${\displaystyle \mathrm {M} _{12}:2}$	1288 = 1+495+792	Пары комплементарных 12-точечных множеств в 24-точечном представлении перестановок
Группа Судзуки Suz	${\displaystyle \mathrm {G} _{2}(4)}$	1782 = 1+416+1365	цепочка Судзуки
G2(4)	${\displaystyle \mathrm {U} _{3}(4):2}$	2016 = 1+975+1040
Группа Конвея Co2	${\displaystyle \mathrm {PSU} _{6}(2):2}$	2300 = 1+891+1408
Группа Рудвалиса Ru	2F4(2)	4060 = 1+1755+2304
Группа Фишера Fi22	${\displaystyle 2.\mathrm {PSU} _{6}(2)}$	3510 = 1+693+2816	3-перестановки
Группа Фишера Fi22	${\displaystyle \mathrm {\Omega } _{7}(3)}$	14080 = 1+3159+10920	Два класса
Группа Фишера Fi23	2.Fi22	31671 = 1+3510+28160	3-перестановки
${\displaystyle \mathrm {G} _{2}(8).3}$	${\displaystyle \mathrm {SU} _{3}(8).6}$	130816 = 1+32319+98496
Группа Фишера Fi23	${\displaystyle \mathrm {P\Omega } _{8}^{+}(3).\mathrm {S} _{3}}$	137632 = 1+28431+109200
Группа Фишера Fi24 '	Fi23	306936 = 1+31671+275264	3-перестановки