Цоколь (математика)

В контексте теории групп цоколь группы G, обозначается soc(G), — это подгруппа, генерируемая характеристически простыми подгруппами группы G. Может случиться, что группа не имеет минимальной нетривиальной нормальной подгруппы (то есть любая нетривиальная нормальная подгруппа содержит другую такую подгруппу), в этом случае цоколь определяется как подгруппа, генерируемая единичным элементом. Цоколь является прямым произведением характеристически простых групп^[1].

Как пример, рассмотрим циклическую группу Z₁₂ с генератором u, которая имеет две минимальные нормальные подгруппы, одна генерируется элементом u ⁴ (который даёт нормальную подгруппу с 3 элементами), а другая — элементом u ⁶ (который даёт нормальную подгруппу с 2 элементами). Тогда цоколь группы Z₁₂ — это группа, генерируемая элементами u ⁴ и u ⁶, которая просто генерируется элементом u ².

Цоколь является характеристической подгруппой, а следовательно, нормальной подгруппой. Она, однако, не обязательно является транзитивно нормальной.

Если группа G является конечной разрешимой группой, то цоколь можно выразить в виде произведения элементарных абелевых p-групп. В этом случае он просто является произведением копий Z/pZ для различных p, где некоторые p могут встречаться несколько раз.

В контексте модуля над кольцом и теории колец цоколь модуля M над кольцом R определяется как сумма минимальных ненулевых подмодулей модуля M. Он может рассматриваться как двойственный для радикала модуля. В обозначениях теории множеств

${\displaystyle \mathrm {soc} (M)=\sum \{N\}}$, где суммирование ведётся по всем подмодулям модуля M

что эквивалентно

${\displaystyle \mathrm {soc} (M)=\bigcap \{E\}}$, где пересечение ведётся по всем существенным подмодулям модуля M

Цоколь кольца R может относиться к одному из множеств в кольце. Предположим, что определён правый модуль R, soc(R_R), и определён левый модуль, soc(_RR). Оба эти цоколя являются идеалами колец и известно, что они не обязательно совпадают.

• Если M является артиновым модулем, soc(M) сам является существенным подмодулем модуля M.
• Модуль является полупростым тогда и только тогда, когда soc(M) = M. Кольца, для которых soc(M) = M для всех M, являются в точности полупростыми модулями.
• soc(soc(M)) = soc(M).
• M является конечнопорождённым модулем тогда и только тогда, когда soc(M) является конечнопорождённым и soc(M) является существенным подмодулем модуля M.
• Поскольку сумма полупростых модулей является полупростым модулем, цоколь модуля можно определить как единственный максимальный полупростой подмодуль.
• Из определения rad(R) легко видеть, что rad(R) аннулирует soc(R). Если R является конечномерной унитальной алгеброй и M является конечнопорождённым R-модулем, то цоколь состоит в точности из элементов, аннулируемых радикалом Джонсона кольца R^[2].

В контексте алгебр Ли цоколь симметричной алгебры Ли — это собственное пространство его структурных автоморфизмов, которые соответствуют собственному значению −1. (Симметричная алгебра Ли разбивается на прямую сумму её цоколя и коцоколя.)^[3].