Гипотеза Бреннана

Гипотеза Бреннана является математической гипотезой (в комплексном анализе) для оценки (при определённых условиях) интеграла степени модуля производной конформных отображений в открытый единичный диск. Гипотезу сформулировал Джеймс Бреннан в 1978 году^[1][2][3].

Пусть W — односвязное открытое подмножество ${\displaystyle \mathbb {C} }$ как минимум с двумя граничными точками на полной плоскости комплексного пространства^[4]. Пусть ${\displaystyle \varphi }$ — конформное отображение W в открытый единичный диск. Гипотеза Бреннана утверждает, что

${\displaystyle \int _{W}|\varphi \ '|^{p}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y<\infty }$ при ${\displaystyle 4/3<p<4}$.

Бреннан доказал результат при ${\displaystyle 4/3<p<p_{0}}$ для некоторой константы ${\displaystyle p_{0}>3}$^[1]. Бертилсон доказал в 1999 году, что гипотеза верна при ${\displaystyle 4/3<p<3,422}$, но гипотеза в целом остаётся открытой^[5][6].