Геометрия Галуа

Объектами изучения служат векторные пространства, аффинные и проективные пространства над конечными полями и различные структуры, содержащихся в них. В частности, дуги, овалы, гиперовалы, униталы, блокирующие множества, овалы, многообразия и другие конечные аналоги структур, имеющихся в бесконечных геометриях.

Джордж Конуэлл продемонстрировал геометрию Галуа в 1910, когда описывал решение задачи Киркмана о школьницах как разбиение множества скрещивающихся прямых в PG(3,2), трёхмерной проективной геометрии над полем Галуа GF(2)^[3]. Подобно методам геометрии прямых в пространстве над полем с характеристикой 0, Конуэлл использовал плюккеровы координаты в PG(5,2) и отождествил точки, представляющие прямые в PG(3,2) с точками, лежащими на квадрике Кляйна.

В 1955 году Беньямино Сегре описал овалы для нечётных q. Теорема Сегре утверждает, что в геометрии Галуа нечётного порядка (проективная плоскость, определённая над конечным полем с нечётной характеристикой) любой овал является коническим сечением. На Международном конгрессе математиков 1958 года Сегре представил обзор имеющихся на то время результатов в геометрии Галуа^[4].

${\displaystyle q}$ называется порядком конечной проективной плоскости, такой, что каждая точка (прямая), и число точек равняется числу прямых, ${\displaystyle q^{2}+q+1.}$ Например, при ${\displaystyle q=1}$ проективная плоскость - треугольник. Плоскости Галуа являются конечными проективными плоскостями, для которых справедлива теорема Дезарга. Для конечной проективной плоскости ${\displaystyle \Pi }$ определяется несколько когерентных конфигураций. Схема, содержащая их, определяется на множестве ${\displaystyle V^{2},}$ где ${\displaystyle V}$ - множество элементов (точек и прямых) конечной проективной плоскости ${\displaystyle \Pi ,}$ и в случае дезарговости расширяется до схемы, соответствующей покомпонентному действию группы ${\displaystyle \mathrm {Aut} (\Pi )}$ на ${\displaystyle V^{2}.}$ ^[5]