Взаимодействие многих тел

В рамках ньютоновской концепции проблема ветвится на:

1. комплекс задач столкновения двух и более материальных тел, когда влияние тел друг на друга ограничено временем их непосредственного соприкосновения;
2. связные колебания материальных тел при ограниченном влиянии тел друг на друга соседними телами;
3. комплекс задач о взаимном движении тел под влиянием гравитационных и/или электрических полей всех тел друг на друга.

Иными словами, комплекс задач разделяется по условию взаимодействия тел между собой, когда теми или иными нюансами взаимодействий можно пренебречь. В первом случае пренебрегают взаимодействием вне прямого контакта между телами. Во втором случае пренебрегают взаимодействиями с несоседними элементами системы. В третьем случае, как правило, не рассматривают задачи непосредственного контакта между телами. Указанные ограничения обусловлены сложностью общего решения задачи, которое по идее должно в себя включать все три комплекса задач^[2].

Данный комплекс задач, решаемый в рамках теории удара в свою очередь подразделяется на

• абсолютно упругие столкновения;
• абсолютно неупругие столкновения;
• частично упругие столкновения.

Также этот комплекс задач подразделяется на задачи центрального и нецентрального столкновения.

Для двух тел прямым или центральным называется соударение, при котором общая нормаль к поверхности тел в точке касания проходит через их центры масс и когда скорости центров масс в начале удара направлены по общей нормали. Для многих тел центральным можно считать соударение, при котором для каждого из двух тел системы нормаль к поверхности тел в точке касания проходит через их центры масс и когда геометрическими размерами самих масс можно пренебречь.

Для центрального соударения двух тел решение задачи имеет вид^[3][4]:

${\displaystyle u_{1}={\frac {v_{1}\left({m_{1}-m_{2}}\right)+2m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\,\,;}$

${\displaystyle u_{2}={\frac {v_{2}\left({m_{2}-m_{1}}\right)+2m_{1}v_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\,\,\,.}$

где ${\displaystyle v_{1},\,v_{2}}$ — скорости тел до соударения; ${\displaystyle m_{1},\,m_{2}}$ — массы двух тел, ${\displaystyle u_{1},\,u_{2}}$ — скорости тел после соударения.

Для 'n' тел решение имеет вид^[5]:

${\displaystyle {\vec {u}}_{i}={\frac {\left({m_{i}-M_{i}}\right){\vec {v}}_{i}+2{\vec {v}}_{mi}M_{i}}{\sum \limits _{j}{m_{j}}}},}$

где ${\displaystyle i}$ — номер исследуемого тела системы, а

${\displaystyle {\vec {v}}_{mi}={\frac {1}{M_{i}}}\sum \limits _{j\neq i}^{n}{m_{j}{\vec {v}}_{j}=}{\frac {1}{M_{i}}}\left({m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}+...+m_{i-1}v_{i-1}+m_{i+1}v_{i+1}+...+m_{n-1}v_{n-1}+m_{n}v_{n}}\right)}$,

${\displaystyle M_{i}=\sum \limits _{j\neq i}^{n}{m_{j}=}\,\,m_{1}+m_{2}+...+m_{i-1}+m_{i+1}+...+m_{n-1}+m_{n}}$.

При нецентральном ударе следует учитывать вращающий момент, возникающий за счёт нецентральности удара, на который распределяется часть энергии и количества движения соударяющихся тел.

Для центрального абсолютно неупругого удара двух тел решение имеет вид^[6][7]:

${\displaystyle u={\frac {m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.}$

Потеря энергии при ударе определяется теоремой Карно: Кинетическая энергия, потерянная системой тел при абсолютно неупругом ударе, равна той кинетической энергии, которую имела бы система, если бы двигалась с потерянными скоростями^[8].

Энергия, которая переходит в нагревание соударяющихся тел вследствие абсолютно неупругого удара, определяется выражением^[6]

${\displaystyle \Delta W=-{\frac {m_{1}m_{2}}{2\left({m_{1}+m_{2}}\right)}}\left({v_{1}-v_{2}}\right)^{2}<0}$

При нецентральном ударе, как и в случае абсолютно упругого удара, необходимо учитывать вращающий момент, образующийся вследствие нецентральности удара. Он приводит к совместному вращению слипшихся тел после удара.

При неабсолютно упругом (или просто неупругом) ударе для нахождения решения используют понятие коэффициента восстановления при ударе.

Коэффициент восстановления в теории удара — величина, зависящая от упругих свойств соударяющихся тел и определяющая, какая доля начальной относительной скорости этих тел восстанавливается к концу удара. Коэффициент восстановления. характеризует потери механической энергии соударяющихся тел вследствие появления в них остаточных деформаций и их нагревания^[9]. Обычно коэффициент восстановления определяется по отскоку тела от массивной плиты. При этом коэффициент, в частности, равен^[10]

• дерево о дерево 1/2;
• сталь о сталь 5/9;
• слоновая кость о слоновую кость 8/9;
• стекло о стекло 15/16.

При неупругом центральном ударе двух тел, учитывая, что удар зависит от разности скоростей, коэффициент восстановления определяется соотношением^[7]

${\displaystyle k=-{\frac {u_{1}-u_{2}}{v_{1}-v_{2}}}}$

Потеря энергии при неупругом ударе определяется выражением^[11]:

${\displaystyle \Delta W={\frac {1-k}{2\left({1+k}\right)}}\left[{M_{1}\left({v_{1}-u_{1}}\right)^{2}+M_{2}\left({v_{2}-u_{2}}\right)^{2}}\right]}$

При нецентральном ударе в пренебрежении трением коэффициент восстановления определяется только для проекций скоростей, перпендикулярных поверхности касания тел^[12].

Связные колебания материальных тел описываются системой уравнений второго порядка. Например, для конечной, однородной упругой линии, на средний элемент которой воздействует внешняя гармоническая сила ${\displaystyle F(t)}$, данная система уравнений имеет вид

${\displaystyle m{\frac {d^{2}\Delta _{1}}{dt^{2}}}=s(\Delta _{2}-\Delta _{1})\,\,;}$

${\displaystyle m{\frac {d^{2}\Delta _{2}}{dt^{2}}}=s(\Delta _{3}+\Delta _{1}-2\Delta _{2})\,\,;}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

${\displaystyle m{\frac {d^{2}\Delta _{k}}{dt^{2}}}=F(t)+s(\Delta _{k+1}+\Delta _{k-1}-2\Delta _{k})\,\,;}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

${\displaystyle {m{\frac {d^{2}\Delta _{n}}{dt^{2}}}=s(\Delta _{n-1}-\Delta _{n})\,}}$.

В данной системе уравнений первое, последнее и ${\displaystyle k}$-е уравнение отличается от остальных, определяя соответственно граничные и начальные условия колебаний, возникающих в данной динамической системе. Таким образом, для динамической системы с сосредоточенными параметрами дополнительные условия кроме самой системы дифференциальных уравнений не нужны. При нахождении точных аналитических решений указанные особенности в моделирующей системе уравнений приводят к различию решений задачи. В частности, они описывают условия возникновения колебаний в одной из ветвей, как и одновременное существование бегущей и стоячей волны в динамической системе.

Системы уравнений, описывающих дискретные динамические системы, имеют, как правило, три решения: периодическое, критическое и апериодическое^[13]. Исключением являются динамические системы с резонансными подсистемами. В данных системах возникает режим «отрицательной меры инерции»^[14].

Важно отметить, что при предельном переходе к динамическим системам с распределёнными параметрами на уровне моделирующих дифференциальных уравнений, начальные и граничные условия исчезают и система сводится к волновому уравнению. При этом введение дополнительных начальных и граничных условий становится насущной необходимостью. Одновременно с этим возникает проблема записи данных условий, особенно в нетривиальных случаях переходов между отрезками линий с различными параметрами, при нестационарных границах и т. д. С другой стороны, если использовать предельный переход не для моделирующих уравнений, а для их решений, то особенности, заложенные в моделирующей системе уравнений, сохраняются в решениях и при предельном переходе отображаются в решениях для распределённой динамической системы. Это снимает проблему границ при нахождении решений для динамических систем со сложными границами и начальными условиями.

Многомерные динамические системы рассматривают в основном численными методами и методами дискретной математики. В частности, разрабатываются направления расширения метода Крылова-Боголюбова на ${\displaystyle n}$-мерные системы^[15]; численное моделирование методами дискретной математики^[16]; методы на основе качественной теории дифференциальных уравнений и графоаналитические методы абстрактной алгебры^[17] и т. д.

Ряд исследователей занимается проблемами состыковки задач удара с задачами для гладких систем^[18].

Отсутствие точных решений для базовых многомерных моделей принуждает искать некоторые частные приближения, а зачастую ограничиваться только отдалёнными внешними оценками поведения динамических дискретных систем. На сегодняшний день «в более широком плане проблема состоит в том, чтобы найти такой набор условий, который выполнялся бы для типичной динамической системы и в то же время в значительной степени определял бы её возможные свойства, делая ситуацию более или менее обозримой. Такая общая постановка не является столь чёткой. Однако несомненно, что эта проблема решена в случае малой размерности фазового пространства и не решена в общем случае»^[19].

Проблема ${\displaystyle N}$ тел подразделяется на:

• проблему рассеяния тел (нестационарного движения) вследствие взаимодействия во взаимных полях друг друга;
• проблему взаимного стационарного движения тел в полях друг друга.

В свою очередь, проблема стационарного движения традиционно подразделяется на задачу двух тел, задачу трёх тел и задачу ${\displaystyle N}$тел. Кроме того, также традиционно, задачи о нестационарном движении тел используются для исследования движения в физике элементарных частиц, то есть в электрических полях, а задачи о стационарном движении — в астрофизике, то есть в гравитационных полях.

В настоящее время считается, что задача двух тел решена точно, «потому что она может быть сведена к задаче Кеплера, то есть к системе частных дифференциальных уравнений, описывающих движение частицы, движущейся под действием гравитационного притяжения второй частицы, зафиксированной в начале координат. Решением задачи Кеплера являются конические сечения — окружности, эллипсы, параболы и гиперболы»^[20]. Если точнее, то «задача двух тел сводится к эквивалентной задаче о движении ${\displaystyle \mu }$ точки — воображаемой точки с массой ${\displaystyle \mu }$ и радиус-вектором r — в центрально симметричном поле с неподвижным центром»^[21]. Моделирующее построение имеет вид, представленный на рисунке [1]

Уравнение сводится к виду:

${\displaystyle \mu {\mathbf {\ddot {r}} }={\mathbf {F} }_{12}\left({\left|{\mathbf {r} }\right|}\right)}$

,

где ${\displaystyle \mu =m_{1}m_{2}/\left({m_{1}+m_{2}}\right)}$ — приведённая масса; ${\displaystyle {\mathbf {r} }={\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}{\mathbf {r'} }_{2}=-{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}{\mathbf {r'} }_{1}}$ — вектор, характеризующий относительное расположение точек.

Решение этого уравнения имеет вид: ${\displaystyle {\mathbf {M'} }_{0}{\mathbf {r} }=\mu \left[{\mathbf {rv} }\right]{\mathbf {r} }=0}$ ;

${\displaystyle t=\pm \int {\frac {dr}{\sqrt {{\frac {2}{\mu }}\left({E'_{0}-U_{eff}}\right)}}}+const}$ ;

${\displaystyle \varphi =\pm \int {\frac {{\frac {M'_{0}}{\mu r^{2}}}dr}{\sqrt {{\frac {2}{\mu }}\left({E'_{0}-U_{eff}}\right)}}}+const}$ ;

${\displaystyle U_{eff}=U\left(r\right)+{\frac {\left({M'_{0}}\right)^{2}}{2\mu r^{2}}}}$; ${\displaystyle U\left(r\right)=-{\frac {\alpha }{r}}}$; ${\displaystyle E'_{0}={\frac {\mu v^{2}}{2}}-U\left(r\right)}$,

где ${\displaystyle \alpha }$ равно ${\displaystyle \gamma m_{1}m_{2}}$ при гравитационном взаимодействии и ${\displaystyle -q_{1}q_{2}}$ при электростатическом взаимодействии^[22].

В зависимости от знака ${\displaystyle E'_{0}}$ траектория будет гиперболической (${\displaystyle E'_{0}>0}$), параболической (${\displaystyle E'_{0}=0}$), эллиптической (${\displaystyle 0>E'_{0}>U_{eff}}$) или окружностью (${\displaystyle E'_{0}=U_{eff}}$).

Считается, что все решения задачи трёх тел описать невозможно. Поэтому практически все исследования в проблематике трёх тел касаются решения частных задач либрации малых тел в предположении малости исследуемого тела в поле двух других тел и в исследовании устойчивости периодических решений^[23][24]. В этом случае задача зачастую сводится к задаче двух тел. Ньютон был одним из первых, кто попытался решать такого типа частные задачи при исследовании Луны в поле Земли и Солнца, используя найденный им закон всемирного тяготения. Он показал, что годовое уравнение среднего движения Луны происходит от различного растяжения орбиты Луны силою Солнца. Также он нашёл, что в перигелии Земли, вследствие большей силы Солнца, апогей и узлы Луны движутся быстрее, нежели в её афелии, и притом в обратном отношении кубов расстояний Земли до Солнца; от этого происходят годовые уравнения этих движений, пропорциональные уравнению центра Солнца. При этом он вычислил отклонения орбиты Луны в апогее и перигелии Земли относительно Солнца и т. д.^[25].

Простейшие периодические решения для задачи трёх тел были открыты Эйлером [1765] и Лагранжем [1772]. Построенные из кеплеровых эллипсов, они являются единственными неявными решениями^[24].

Пуанкаре нашёл инварианты периодических решений, построил решение в виде некоторого ряда и рассмотрел условия устойчивости^[26].

В результате сегодня существует шесть основных подходов к решению задачи:

1. Метод Лапласа—Ньюкома;
2. Планетный метод Хилла;
3. Метод вариации произвольных постоянных;
4. Лунный метод Хилла;
5. Метод периодических орбит;
6. Метод Коуэлла.

Найденное К. Зундманом в 1912 году решение представляется в виде медленно сходящихся рядов. По теореме Римана эту область можно отобразить на круг единичного радиуса ${\displaystyle \left|\tau \right|<1}$, то есть решение задачи трёх тел представимо в виде функций параметра ½, голоморфных в круге ${\displaystyle \left|\tau \right|<1}$. Такие функции представимы в виде сходящихся во всём круге рядов по положительным степеням ${\displaystyle \tau }$. Таким образом, и решение задачи трёх тел представимо в виде

${\displaystyle q_{j}={\rm {B}}_{j}\left(\tau \right),\,\,\,t={\rm {B}}_{0}\left(\tau \right),\,\,\,\left|\tau \right|<1}$.

Путём весьма непростых оценок Зундман (1912 г.) доказал, что в качестве ${\displaystyle G}$ можно взять полосу

${\displaystyle \left|{\operatorname {Im} v}\right|<\delta }$

и указал выражение для ${\displaystyle \delta }$. Как показал Белорицкий, для нужд вычислительной астрономии в «сходящихся» рядах Зундмана нужно брать как минимум ${\displaystyle 10^{8\cdot 10^{6}}}$ членов и поэтому они непригодны для вычисления координат.

Периодические решения, как малые возмущения при установившемся движении малого тела в поле двух больших тел находятся через интеграл Якоби^[27].

Класс периодических решений можно расширить при использовании точных аналитических решений для связанных колебаний материальных тел. При этом задача сводится в общем случае к системе трёх алгебраических уравнений.

Сейчас широко распространено убеждение, что задача ${\displaystyle N}$ тел для ${\displaystyle N\geqslant 3}$ не может быть решена в том же смысле, что и задача двух тел. Фактически есть очень хорошее свидетельство, что общая задача N тел нерешаема. Однако со времени Ньютона по задаче N тел были написаны тысячи статей. Эти статьи содержат частные решения, асимптотические оценки, информацию о столкновении, существовании и несуществовании интегралов, рядов решений, бесстолкновительных сингулярностей и т. д.^[20].

Соответственно, используя методику построения решения для связанных колебаний трёх тел, ряд задач ${\displaystyle N}$ тел может быть сведён к системе ${\displaystyle N}$ алгебраических уравнений с последующим решением матричными методами. Данный подход в перспективе позволит аналитическими методами решать и класс задач непериодического финитного движения тел.