Вероятности событий

Случайное собы́тие — подмножество множества исходов случайного эксперимента; при многократном повторении случайного эксперимента частота наступления события служит оценкой его вероятности.

Случайное событие, которое никогда не реализуется в результате случайного эксперимента, называется невозможным и обозначается символом ${\displaystyle \varnothing }$.

Случайное событие, которое всегда реализуется в результате случайного эксперимента, называется достоверным и обозначается символом ${\displaystyle \Omega }$.

Классическое определение вероятности:

Вероятностью случайного события A называется отношение числа n несовместимых равновероятных элементарных событий, составляющих событие A, к числу всех возможных элементарных событий N:

${\displaystyle \Pr(A)={\frac {n}{N}}}$

Например, пусть подбрасываются две кости. Общее количество равновозможных исходов (элементарных событий) равно 36 (так как на каждый из 6 возможных исходов одной кости возможно по 6 вариантов исхода другой). Оценим вероятность выпадения семи очков. Получить 7 очков можно лишь при следующих сочетаниях исходов броска двух костей: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1. То есть всего 6 равновозможных исходов, благоприятствующих получению 7 очков, из 36 возможных исходов броска костей. Следовательно, вероятность будет равна 6/36 или, если сократить, 1/6. Для сравнения: вероятность получения 12 очков или 2 очков равна всего 1/36 — в 6 раз меньше.

Над вероятностями можно проводить некоторые математические действия.

Теорема сложения вероятностей — вероятность наступления хотя бы одного из (то есть суммы) произвольных (не обязательно несовместных) двух событий ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ равна:

${\displaystyle \mathbf {P} \{A+B\}=\mathbf {P} \{A\}+\mathbf {P} \{B\}-\mathbf {P} \{AB\}.}$

Вероятность наступления события ${\displaystyle A}$, при условии наступления события ${\displaystyle B}$, называется условной вероятностью ${\displaystyle A}$ (при данном условии) и обозначается ${\displaystyle \Pr(A\mid B)}$. Формула условной вероятности:

${\displaystyle \Pr(A\mid B)={\frac {\Pr(AB)}{\Pr(B)}}}$.

Отсюда следует теорема умножения вероятностей:

${\displaystyle \Pr(AB)=\Pr(B)\cdot \Pr(A\mid B)}$.

Статистическая вероятность — предел относительной частоты наблюдения некоторого события в серии однородных независимых испытаний. То есть

${\displaystyle P(A)=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {n}{N}}}$, где ${\displaystyle N}$ — число всех испытаний, ${\displaystyle n}$ — число появлений события А.