Вариация Харди

Пусть имеется функция ${\displaystyle f(x)=f(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}),\;n=2,\;3,\;\ldots }$, заданная на ${\displaystyle n}$-мерном параллелепипеде

${\displaystyle D_{n}=[a_{1},\;b_{1}]\times [a_{2},\;b_{2}]\times \ldots \times [a_{n},\;b_{n}].}$

Зададимся произвольным разбиением ${\displaystyle \pi }$ параллелепипеда гиперплоскостями

${\displaystyle x_{s}=x_{s}^{(r_{s})},\quad r_{s}=0,\;1,\;2,\;\ldots ,\;l_{s};\;s=1,\;2,\;\ldots ,\;n,}$

${\displaystyle x_{s}^{(r_{s})}<x_{s}^{(r_{s}+1)},\;x_{s}^{(0)}=a_{s},\;x_{s}^{(l_{s})}=b_{s},\;h_{s}^{(r_{s})}=x_{s}^{(r_{s}+1)}-x_{s}^{(r_{s})}}$

на ${\displaystyle n}$-мерные параллелепипеды.

Рассмотрим класс ${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}}$ всех функций, для которых

${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}=\sup _{\pi }\sum _{r_{1}=0}^{l_{1}-1}\sum _{r_{2}=0}^{l_{2}-1}\ldots \sum _{r_{n}=0}^{l_{n}-1}\left|\Delta _{h_{1}^{(r_{1})}h_{2}^{(r_{2})}\ldots h_{n}^{(r_{n})}}(f;\;x_{1}^{(r_{1})},\;x_{2}^{(r_{2})},\;\ldots ,\;x_{n}^{(r_{n})})\right|<\infty ,}$

где

${\displaystyle \Delta _{h_{1}h_{2}\ldots h_{n}}(f;\;x)=\Delta _{h_{k}}(\Delta _{h_{1}h_{2}\ldots h_{k-1}};\;x),\quad k=2,\;3,\;\ldots ,\;n;}$

${\displaystyle \Delta _{h_{k}}(f;\;x)=f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{k}+h_{k},\;\ldots ,\;x_{n})-}$

${\displaystyle -f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{k},\;\ldots ,\;x_{n}),\quad \;k=1,\;2,\;\ldots ,\;n.}$

Пусть, теперь, ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\;\alpha _{2},\;\ldots ,\;\alpha _{s}),\;s=1,\;2,\;\ldots ,\;n-1}$ — целочисленный вектор, координаты которого удовлетворяют неравенствам ${\displaystyle 1\leqslant \alpha _{1}<\alpha _{2}<\ldots <\alpha _{s}\leqslant n}$, и ${\displaystyle {\bar {\alpha }}}$ — целочисленный вектор размерности ${\displaystyle n-s}$ такой, что его координаты образуют строго возрастающую последовательность и состоят из всех тех чисел ${\displaystyle 1,\;2,\ldots ,\;n}$, которые не содержатся среди чисел ${\displaystyle \alpha _{1},\;\alpha _{2},\;\ldots ,\;\alpha _{s}}$. Тогда каждую точку ${\displaystyle x\in D_{n}}$ можно записать в виде ${\displaystyle x=(x^{\alpha },\;x^{\bar {\alpha }})}$. Если координаты ${\displaystyle x_{\alpha _{1}},\;x_{\alpha _{2}},\;\ldots ,\;x_{\alpha _{s}}}$ точки ${\displaystyle x\in D_{n}}$ фиксированы на значениях ${\displaystyle {\overset {\circ }{x}}_{\alpha _{1}},\;{\overset {\circ }{x}}_{\alpha _{2}},\;\ldots ,\;{\overset {\circ }{x}}_{\alpha _{s}}}$, то будем писать ${\displaystyle x=({\overset {\circ }{x}}{}^{\alpha },\;x^{\bar {\alpha }})}$.

Вариация Xарди функции ${\displaystyle f(x)}$ на ${\displaystyle D_{n}}$:

${\displaystyle H(f,\;D_{n})\,{\overset {\mathrm {def} }{=}}\sup _{\alpha }\,\sup _{{\overset {\circ }{x}}{}^{\alpha }}{\tilde {H}}_{n-s}\left(f({\overset {\circ }{x}}{}^{\alpha },\;x^{\bar {\alpha }})\right).}$

Если ${\displaystyle H(f,\;D_{n})<\infty }$, то говорят, что функция ${\displaystyle f(x)}$ имеет ограниченную (конечную) вариацию Харди на параллелепипеде ${\displaystyle D_{n}}$, а класс всех таких функций обозначается ${\displaystyle H(D_{n})}$.

Первоначально класс ${\displaystyle H(D_{n})}$ при ${\displaystyle n=2}$ был введён Г. Харди^[1] (G. Н. Hardy) в связи с исследованием сходимости двойных рядов Фурье^[2]. Он доказал, что прямоугольные частичные суммы двойного ряда Фурье функции ${\displaystyle f(x_{1},\;x_{2})}$ класса ${\displaystyle H(Q_{2})}$ (${\displaystyle Q_{2}=[0,\;2\pi ]\times [0,\;2\pi ]}$), имеющей период ${\displaystyle 2\pi }$ по каждой переменной, сходятся в каждой точке ${\displaystyle (x_{1},\;x_{2})}$ к числу

${\displaystyle {\frac {1}{4}}\{f(x_{1}+0,\;x_{2}+0)+f(x_{1}+0,\;x_{2}-0)+f(x_{1}+0,\;x_{2}-0)+f(x_{1}-0,\;x_{2}-0)\},}$

где

${\displaystyle f(x\pm 0,\;x_{2}\pm 0)\,{\overset {\mathrm {def} }{=}}\lim _{\begin{smallmatrix}\varepsilon _{1}\to +0\\\varepsilon _{2}\to +0\end{smallmatrix}}f(x_{1}\pm \varepsilon _{1},\;x_{2}\pm \varepsilon _{1}).}$

Для того чтобы функция ${\displaystyle f(x)}$ входила в класс ${\displaystyle H(D_{n})}$, необходимо и достаточно, чтобы её можно было представить в виде ${\displaystyle f(x)=f_{1}(x)-f_{2}(x)}$, где ${\displaystyle f_{1}}$ и ${\displaystyle f_{2}}$ такие конечные на ${\displaystyle D_{n}}$ функции, что ${\displaystyle \Delta _{h_{1}h_{2}\ldots h_{n}}(f;\;x)\geqslant 0,\;k=2,\;3,\;\ldots ,\;n}$, при всех ${\displaystyle x\in D_{n}}$ и допустимых приращениях ${\displaystyle h_{1},\;h_{2},\;\ldots ,\;h_{n}}$. Класс ${\displaystyle H(D_{n})}$ содержится в классе ${\displaystyle A(D_{n})}$ функций, имеющих ограниченную вариацию Арцела на ${\displaystyle D_{n}}$.