Вариация Фреше

Вариация Фреше определяется как:

${\displaystyle F(f,\;D_{n})\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\sup _{\varepsilon }\,\sup _{\Pi }\left|\sum _{r_{1}=0}^{l_{1}-1}\sum _{r_{2}=0}^{l_{2}-1}\ldots \sum _{r_{n}=0}^{l_{n}-1}\varepsilon _{n}^{(r_{1})}\varepsilon _{n}^{(r_{2})}\ldots \varepsilon _{n}^{(r_{n})}\times \right.}$

${\displaystyle \times \Delta _{h_{1}^{(r_{1})}h_{2}^{(r_{2})}\ldots h_{n}^{(r_{n})}}(f;\;x_{1}^{(r_{1})},\;x_{2}^{(r_{2})},\;\ldots ,\;x_{n}^{(r_{n})}){\Bigg |},}$

где ${\displaystyle f(x)=f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}$ — действительнозначная функция, заданная на ${\displaystyle n}$-мерном параллелепипеде ${\displaystyle D_{n}}$

${\displaystyle D_{n}=[a_{1},\;b_{1}]\times [a_{2},\;b_{2}]\times \ldots \times [a_{n},\;b_{n}];}$

${\displaystyle \Pi }$ — произвольное разбиение параллелепипеда ${\displaystyle D_{n}}$ гиперплоскостями ${\displaystyle x_{s}=x_{s}^{(r_{s})}}$ такими, что

${\displaystyle x_{s}^{(0)}=a_{s}}$, ${\displaystyle x_{s}^{(l_{s})}=b_{s}}$ и ${\displaystyle x_{s}^{(r_{s})}<x_{s}^{(r_{s}+1)}}$,

где ${\displaystyle r_{s}=0,\;1,\;2,\;\ldots ,\;l_{s}}$, ${\displaystyle s=1,\;2,\;\ldots ,\;n}$.

${\displaystyle h_{s}^{(r_{s})}=x_{s}^{(r_{s}+1)}-x_{s}^{(r_{s})}}$ — шаг разбиения;

${\displaystyle \Delta _{h_{k}}(f,\;x)=f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{k}+h_{k},\;\ldots ,\;x_{n})-f(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{k},\;\ldots ,\;x_{n})}$ (${\displaystyle k=1,\;2,\;\ldots ,\;n}$) — приращение функции по ${\displaystyle x_{k}}$-ой координате;

${\displaystyle \Delta _{h_{1}h_{2}\ldots h_{k}}(f;\;x)=\Delta _{h_{k}}(\Delta _{h_{1}h_{2}\ldots h_{k-1}};\;x)}$ — обобщённое приращение функции по первым ${\displaystyle k}$ координатам (${\displaystyle k=2,\;3,\;\ldots ,\;n}$);

${\displaystyle \varepsilon _{k}^{(r_{k})}=\pm 1}$ (${\displaystyle k=1,\;2,\;\ldots ,\;n}$) произвольным образом.

Если ${\displaystyle F(f;\;D_{n})<\infty }$, то говорят, что функция ${\displaystyle f(x)}$ имеет ограниченную (конечную) вариацию Фреше на ${\displaystyle D_{n}}$. Класс всех таких функций обозначается через ${\displaystyle F(D_{n})}$.

При ${\displaystyle n=2}$ этот класс был введён М. Фреше^[1] в связи с исследованием общего вида билинейного непрерывного функционала ${\displaystyle U(\varphi _{1},\varphi _{2})}$ в пространстве непрерывных на квадрате ${\displaystyle Q_{2}=[a,\;b]\times [a,\;b]}$ функций вида ${\displaystyle \varphi _{1}(x_{1})\varphi _{2}(x_{2})}$. Он доказал, что всякий такой функционал представляется в виде

${\displaystyle U(\varphi _{1},\;\varphi _{2})=\int \limits _{a}^{b}\int \limits _{a}^{b}\varphi _{1}(x_{1})\varphi _{2}(x_{2})\,d_{x_{l}}d_{x_{2}}u(x_{1},\;x_{2}),}$

где ${\displaystyle u(x_{1},\;x_{2})\in F(Q_{2})}$, ${\displaystyle u(a,\;x_{2})\equiv u(x_{1},\;b)\equiv 0}$.

Позднее было показано, что для ${\displaystyle 2\pi }$-периодических функций класса ${\displaystyle f(Q_{n})}$ (${\displaystyle Q_{n}=[0,\;2\pi ]\times \ldots \times [0,\;2\pi ]}$) справедливы аналоги многих классических признаков сходимости рядов Фурье^[2]. Так, например, если ${\displaystyle f(x)\in F(Q_{n})}$, ${\displaystyle n=2,\;3,\;\ldots }$, то прямоугольные частичные суммы ряда Фурье функции ${\displaystyle f(x)}$ в каждой точке ${\displaystyle x=(x_{1},\;x_{2},\ldots ,\;x_{n})}$ сходятся к числу

${\displaystyle {\frac {1}{2^{n}}}\sum f(x_{1}\pm 0,\;x_{2}\pm 0,\;\ldots ,\;x_{n}\pm 0),}$

где суммирование распространяется на все ${\displaystyle 2^{n}}$ возможных комбинаций знаков ${\displaystyle \pm }$. При этом, если функция непрерывна, то сходимость равномерная. Это аналог признака Жордана.