Бесконечные периодические дроби

• Бесконечная десятичная дробь — десятичная дробь с бесконечным количеством цифр после запятой: ${\displaystyle 0{,}123456789\ldots }$.Если бесконечная десятичная дробь не имеет периода, то она называется бесконечной десятичной непериодической дробью. Бесконечная десятичная непериодическая дробь относится к множеству иррациональных чисел (${\displaystyle \mathbb {I} }$).
• Каждая бесконечная периодическая дробь — это десятичное разложение некоторого рационального числа ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$, где ${\displaystyle m}$ - целое число, а ${\displaystyle n}$ - натуральное.
• Любое рациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби, приписав бесконечную последовательность нулей.
• Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел (${\displaystyle \mathbb {R} }$).^[1]

• Соответствие рациональным числам: любая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет рациональное число, то есть её можно записать в виде обыкновенной дроби с целыми числителем и знаменателем. Например: ${\displaystyle {\frac {1}{3}}=0,(3);{\frac {11}{13}}=0,(846153)}$.

Для преобразования периодической дроби в обыкновенную дробь используют алгебраический метод:^[2]

Пример 1: преобразуем периодическую дробь ${\displaystyle 0,(8)}$ в обыкновенную вида ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$.

1. Обозначим периодическую дробь буквой ${\displaystyle x}$: ${\displaystyle x=0,(8)}$.

2. Умножим ${\displaystyle x}$ на степень 10, чтобы перенести одну или несколько периодических групп в целую часть:

${\displaystyle 10x=8,(8)}$.

3. Вычтем из полученного числа исходное ${\displaystyle x}$, чтобы сократить периодическую часть:

${\displaystyle 10x-x=8,(8)-0,(8)}$;

${\displaystyle 9x=8}$, откуда

${\displaystyle x={\frac {8}{9}}}$.

Пример 2: преобразуем периодическую дробь ${\displaystyle 0,1(23)}$ в обыкновенную вида ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$.

1. ${\displaystyle x=0{,}1(23)}$.

2. Умножим на 10 в степени, равной количествам цифр после запятой (включая период):

  ${\displaystyle 1000x=123{,}(23)}$.

3. Умножим на 10 в степени, равной количествам цифр до периода (1 цифра):

  ${\displaystyle 10x=1{,}(23)}$.

4. Вычтем второе уравнение из первого:

  ${\displaystyle 1000x-10x=123{,}(23)-1{,}(23)}$.

  ${\displaystyle 990x=122}$.

5. Решим уравнение:

  ${\displaystyle x={\dfrac {122}{990}}={\dfrac {61}{495}}}$.

Часто в задачах требуется записать ответ в виде десятичной дроби с 2 знаками после запятой. Периодические дроби округляем до сотых, как и десятичные:

чтобы округлить десятичную дробь до сотых, нужно отбросить все цифры, следующие за разрядом, до которого происходит округление, при этом:

1) если из отбрасываемых первая слева цифра 4 и меньше, то цифра, определяющая разряд, до которого происходит округление, не меняется;

2) если из отбрасываемых первая слева цифра равна 5 или более, то цифра, определяющая разряд, до которого происходит округление, увеличивается на единицу.

Пример: ${\displaystyle 0,(7)=0,77(7)\approx 0,78}$.

• Бесконечные периодические десятичные дроби равны, если равны соответствующие им обыкновенные дроби.
• Если записи периодических десятичных дробей равны, то равны и сравниваемые дроби.
• Если дроби не равны, то сравнивать периодические дроби необходимо по правилу сравнения десятичных дробей, то есть поразрядно.
• Чтобы сравнить конечную десятичную дробь с бесконечной периодической дробью, к конечной десятичной дроби дописывают нули и далее сравнивают поразрядно.

• В математике — для представления и анализа рациональных чисел в десятичной форме.

• В практике — при округлении чисел и оценке приближённых значений.

• В образовании — при решении задач на преобразование дробей и подготовке к экзаменам.

Бесконечные периодические дроби играют важную роль в математике, связывая десятичные и обыкновенные дроби. Умение преобразовывать такие дроби и понимать их свойства необходимо для решения многих математических задач и успешной подготовки к экзаменам.