Аэродинамический фокус

При изменении угла атаки Δα меняется не только величина подъёмной силы Y, но и координата точки её приложения — так называемого центра давления. Поэтому пользоваться понятием центра давления при анализе устойчивости неудобно: его положение зависит от режима полёта. Гораздо продуктивнее оказалось введённое ещё в классической аэродинамике понятие аэродинамического фокуса^[1].

Фокус — это точка приложения не самой подъёмной силы, а её изменения при вариации угла атаки. Такое определение делает понятие фокуса удобным при исследовании устойчивости^[1][2]. Для тонкого симметричного профиля в несжимаемом потоке фокус, согласно теории крыла, лежит на расстоянии 14 хорды от передней кромки; для реальных профилей это значение немного смещается, но остаётся близким к четверти хорды^[4]. Этот результат восходит к работам Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина — основоположников русской школы аэродинамики.

Пусть в горизонтальном установившемся полёте на самолёт подействовал вертикальный порыв, увеличивший угол атаки на +Δα. Возникающее приращение подъёмной силы +ΔY приложено в фокусе. Плечо этой силы относительно центра масс равно x_F − x_ц.м.. Если фокус расположен позади центра масс (x_F > x_ц.м.), то момент от ΔY — пикирующий, и он возвращает самолёт к исходному углу атаки. Самолёт статически устойчив. Если же центр масс расположен позади фокуса, аналогичное возмущение приведёт к кабрирующему моменту, который дополнительно увеличит угол атаки, — самолёт неустойчив^[1][3].

Таким образом, условие продольной статической устойчивости:

x_ц.м. < x_F

то есть центр масс должен располагаться впереди аэродинамического фокуса по направлению полёта. Это простое правило является одним из краеугольных в теории устойчивости самолёта; его в обязательном порядке изучают в авиамодельных кружках, поскольку правильная центровка модели — необходимое условие её управляемого полёта^[3].

Количественной характеристикой служит запас продольной статической устойчивости

m_z^C_y = x̄_ц.м. − x̄_F

где чертой обозначены безразмерные координаты, отнесённые к длине средней аэродинамической хорды (САХ) крыла b_A. Для устойчивого самолёта эта величина отрицательна: например, «запас −8%» означает, что центр масс находится впереди фокуса на 0,08 · b_A^[1].

Рассмотрим самолёт, схематически представленный двумя горизонтальными несущими поверхностями — крылом и горизонтальным оперением (ГО). Пренебрежём фюзеляжем и интерференцией, будем считать, что подъёмные силы обеих поверхностей линейно зависят от их углов атаки^[2]. Обозначим:

• ${\displaystyle \alpha }$ — общий угол атаки самолёта (например, отсчитанный по строительной оси фюзеляжа);
• ${\displaystyle \varphi _{1},\ \varphi _{2}}$ — углы установки передней и задней поверхностей относительно строительной оси;
• ${\displaystyle S_{1},\ S_{2}}$ — их площади;
• ${\displaystyle C_{y1}^{\alpha },\ C_{y2}^{\alpha }}$ — производные коэффициентов подъёмной силы по углу атаки;
• ${\displaystyle x_{1},\ x_{2}}$ — координаты фокусов отдельных поверхностей (обычно на 25 % их местной хорды);
• ${\displaystyle q={\dfrac {\rho V^{2}}{2}}}$ — скоростной напор.

Подъёмные силы поверхностей:

${\displaystyle Y_{1}=C_{y1}^{\alpha }\,(\alpha +\varphi _{1})\,q\,S_{1},\qquad Y_{2}=C_{y2}^{\alpha }\,(\alpha +\varphi _{2})\,q\,S_{2}.}$

Приращения подъёмных сил при изменении угла атаки на ${\displaystyle \Delta \alpha }$:

${\displaystyle \Delta Y_{1}=C_{y1}^{\alpha }\,\Delta \alpha \,q\,S_{1},\qquad \Delta Y_{2}=C_{y2}^{\alpha }\,\Delta \alpha \,q\,S_{2}.}$

Приращения приложены в фокусах отдельных поверхностей, следовательно координата фокуса всего самолёта — точка приложения суммарного приращения ${\displaystyle \Delta Y_{1}+\Delta Y_{2}}$ — находится как средневзвешенная:

${\displaystyle x_{F}={\dfrac {C_{y1}^{\alpha }S_{1}\,x_{1}+C_{y2}^{\alpha }S_{2}\,x_{2}}{C_{y1}^{\alpha }S_{1}+C_{y2}^{\alpha }S_{2}}}.}$

В отличие от фокуса, центр масс в статике полёта совпадает с центром приложения полной подъёмной силы (иначе самолёт не был бы сбалансирован). Условие балансировки ΣM = 0 относительно центра масс даёт:

Y₁(x_ц.м. − x₁) = Y₂(x₂ − x_ц.м.) (для классической схемы, где ГО позади крыла)

откуда

x_ц.м. = (Y₁ x₁ + Y₂ x₂) ⁄ (Y₁ + Y₂)

Классическая схема (стабилизатор позади крыла)

Пусть индекс 1 соответствует крылу, индекс 2 — ГО (горизонтальное оперение), x₂ > x₁. Тогда

x_F − x_ц.м. = (x₂ − x₁) · [Y₁·C_y^α₂S₂ − Y₂·C_y^α₁S₁] ⁄ [(Y₁+Y₂)(C_y^α₁S₁ + C_y^α₂S₂)]

Подставляя Y_i = C_y^α_i(α + φ_i)qS_i, получаем после сокращений

x_F − x_ц.м. = (x₂ − x₁) · C_y^α₁S₁·C_y^α₂S₂ · (φ₁ − φ₂) ⁄ [(Y₁+Y₂)(C_y^α₁S₁ + C_y^α₂S₂)]

Так как x₂ > x₁ и все прочие множители в квадратных скобках положительны, знак разности x_F − x_ц.м. определяется знаком φ₁ − φ₂. Фокус оказывается позади центра масс — то есть самолёт устойчив — тогда и только тогда, когда угол установки передней поверхности (крыла) больше угла установки задней (стабилизатора):

φ_кр > φ_го

Разность φ_кр − φ_го называется углом продольного V и в классической компоновке обычно положительна (стабилизатор устанавливается под меньшим углом, чем крыло, — часто с отрицательным углом установки в 1—3°)^[2].

Схема «утка»

Для схемы «утка» переднее горизонтальное оперение (ПГО) расположено впереди крыла, то есть теперь индекс 1 соответствует ПГО, индекс 2 — крылу, при этом всё равно x₂ > x₁. Полученная выше формула сохраняется, а вместе с ней и вывод: для того чтобы фокус самолёта в целом лежал позади центра масс, угол установки передней поверхности (в данном случае — ПГО) должен быть больше угла установки задней (крыла). Именно поэтому у «уток» ПГО всегда устанавливается под заметно большим углом, чем крыло. Это обеспечивает и так называемую «флюгерную» безопасность схемы: срыв потока при увеличении угла атаки раньше происходит на переднем оперении, самолёт опускает нос и не сваливается в штопор.

Запас продольной статической устойчивости (x̄_ц.м. − x̄_F) выражают, как правило, в процентах САХ (средней аэродинамической хорды) крыла. Ниже приведены типичные значения для нескольких известных типов летательных аппаратов:

Отрицательный знак запаса соответствует устойчивому самолёту (центр масс впереди фокуса), положительный — статически неустойчивому. Современные высокоманёвренные истребители (Су-27, МиГ-29, F-16) намеренно проектируются статически неустойчивыми в продольном канале: искусственная неустойчивость улучшает манёвренность и снижает потери на балансировку, а её парирование возлагается на электродистанционную систему управления.

Понятие фокуса профиля появилось в работах Н. Е. Жуковского в начале XX века одновременно со знаменитой теоремой о подъёмной силе крыла^[4]. Дальнейшее развитие оно получило в трудах С. А. Чаплыгина, В. В. Голубева, а систематическая теория продольной устойчивости самолёта с использованием понятий фокуса и запаса устойчивости была разработана в 1930—1950-е годы советскими учёными ЦАГИ — В. С. Пышновым, И. В. Остославским, Г. С. Бюшгенсом, А. М. Мхитаряном и другими. Классические учебники А. М. Мхитаряна «Динамика полёта» и Г. С. Бюшгенса «Аэродинамика, устойчивость и управляемость сверхзвуковых самолётов» до настоящего времени служат основой преподавания курса динамики полёта в российских авиационных вузах.

Критерии продольной устойчивости, обобщённые на нестандартные схемы (экранопланы, тандемы, «утки» с флюгирующим ПГО), рассматривались, в частности, в работах Р. Д. Иродова^[7].