Алгебраическое дополнение

Пусть ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ — квадратная матрица порядка ${\displaystyle n}$. Дополнительным минором ${\displaystyle {\overline {M}}_{ij}}$ элемента ${\displaystyle a_{ij}}$ называется определитель матрицы порядка ${\displaystyle n-1}$, полученной из ${\displaystyle A}$ вычёркиванием ${\displaystyle i}$-й строки и ${\displaystyle j}$-го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента ${\displaystyle a_{ij}}$ называется число

${\displaystyle A_{ij}=(-1)^{i+j}\,{\overline {M}}_{ij}.}$

Множитель ${\displaystyle (-1)^{i+j}}$ называют знаком позиции; он равен ${\displaystyle +1}$, если сумма номеров строки и столбца чётна, и ${\displaystyle -1}$, если нечётна. Знаки чередуются в шахматном порядке^[4]:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}+&-&+&\cdots \\-&+&-&\cdots \\+&-&+&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}.}$

В общем случае для минора ${\displaystyle M}$ порядка ${\displaystyle k}$, расположенного в строках с номерами ${\displaystyle i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}}$ и столбцах с номерами ${\displaystyle j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}$ матрицы ${\displaystyle A}$ порядка ${\displaystyle n}$, алгебраическим дополнением называется число

${\displaystyle (-1)^{s+t}\,{\overline {M}},}$

где ${\displaystyle {\overline {M}}}$ — дополнительный минор, то есть определитель матрицы порядка ${\displaystyle n-k}$, полученной из ${\displaystyle A}$ вычёркиванием строк и столбцов минора ${\displaystyle M}$, а показатели равны суммам номеров

${\displaystyle s=i_{1}+i_{2}+\ldots +i_{k},\qquad t=j_{1}+j_{2}+\ldots +j_{k}.}$

При ${\displaystyle k=1}$ это определение переходит в предыдущее: ${\displaystyle s=i}$, ${\displaystyle t=j}$, и алгебраическое дополнение элемента равно ${\displaystyle (-1)^{i+j}{\overline {M}}_{ij}}$^[5].

Сумма произведений элементов любой строки (любого столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения равна этому определителю^[6][7].

Разложение по ${\displaystyle i}$-й строке (суммирование ведётся по номеру столбца ${\displaystyle j}$):

${\displaystyle \det A=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}\qquad {\text{для любого }}i=1,\,2,\,\ldots ,\,n.}$

Разложение по ${\displaystyle j}$-му столбцу (суммирование ведётся по номеру строки ${\displaystyle i}$):

${\displaystyle \det A=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}\qquad {\text{для любого }}j=1,\,2,\,\ldots ,\,n.}$

Эти формулы позволяют свести вычисление определителя порядка ${\displaystyle n}$ к вычислению ${\displaystyle n}$ определителей порядка ${\displaystyle n-1}$; на практике выгодно раскладывать по строке или столбцу с наибольшим числом нулей.

Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения другой строки (столбца) равна нулю:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{i_{1}j}A_{i_{2}j}=0\quad (i_{1}\neq i_{2}),\qquad \sum _{i=1}^{n}a_{ij_{1}}A_{ij_{2}}=0\quad (j_{1}\neq j_{2}).}$

Оба утверждения объединяются одной формулой с символом Кронекера:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ij}A_{kj}=\delta _{ik}\det A.}$

Для матрицы ${\displaystyle B={\begin{pmatrix}3&4\\2&5\end{pmatrix}}}$ дополнительные миноры — это отдельные числа:

${\displaystyle A_{11}=(-1)^{2}\cdot 5=5,\quad A_{12}=(-1)^{3}\cdot 2=-2,\quad A_{21}=(-1)^{3}\cdot 4=-4,\quad A_{22}=(-1)^{4}\cdot 3=3.}$

Разложение по первой строке даёт ${\displaystyle \det B=3\cdot 5+4\cdot (-2)=7}$, что совпадает с формулой ${\displaystyle ad-bc=15-8=7}$.

Рассмотрим матрицу

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&-1&3\\0&4&5\\1&2&-2\end{pmatrix}}.}$

Вычислим алгебраические дополнения всех девяти элементов. Например, для ${\displaystyle a_{12}=-1}$ вычёркиваем первую строку и второй столбец:

${\displaystyle {\overline {M}}_{12}={\begin{vmatrix}0&5\\1&-2\end{vmatrix}}=-5,\qquad A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot (-5)=5.}$

Полная таблица дополнений:

	${\displaystyle j=1}$	${\displaystyle j=2}$	${\displaystyle j=3}$
${\displaystyle i=1}$	${\displaystyle A_{11}=-18}$	${\displaystyle A_{12}=5}$	${\displaystyle A_{13}=-4}$
${\displaystyle i=2}$	${\displaystyle A_{21}=4}$	${\displaystyle A_{22}=-7}$	${\displaystyle A_{23}=-5}$
${\displaystyle i=3}$	${\displaystyle A_{31}=-17}$	${\displaystyle A_{32}=-10}$	${\displaystyle A_{33}=8}$

Разложение по первой строке:

${\displaystyle \det A=2\cdot (-18)+(-1)\cdot 5+3\cdot (-4)=-36-5-12=-53.}$

Разложение по второму столбцу даёт тот же результат:

${\displaystyle \det A=(-1)\cdot 5+4\cdot (-7)+2\cdot (-10)=-5-28-20=-53.}$

Разложение по чужой строке — элементы первой строки на дополнения третьей:

${\displaystyle 2\cdot (-17)+(-1)\cdot (-10)+3\cdot 8=-34+10+24=0.}$

Для той же матрицы ${\displaystyle A}$ присоединённая матрица составляется из найденных дополнений с транспонированием:

${\displaystyle \operatorname {adj} A={\begin{pmatrix}-18&4&-17\\5&-7&-10\\-4&-5&8\end{pmatrix}},\qquad A^{-1}=-{\frac {1}{53}}{\begin{pmatrix}-18&4&-17\\5&-7&-10\\-4&-5&8\end{pmatrix}}.}$

Проверка: ${\displaystyle A\cdot \operatorname {adj} A=-53\,E}$.

Решим систему с той же матрицей и столбцом свободных членов ${\displaystyle \mathbf {b} =(5,\;3,\;-1)^{\mathsf {T}}}$. Заменяя поочерёдно столбцы, получаем ${\displaystyle \det A_{1}=-61}$, ${\displaystyle \det A_{2}=14}$, ${\displaystyle \det A_{3}=-43}$, откуда

${\displaystyle x_{1}={\frac {-61}{-53}}={\frac {61}{53}},\qquad x_{2}={\frac {14}{-53}}=-{\frac {14}{53}},\qquad x_{3}={\frac {-43}{-53}}={\frac {43}{53}}.}$

Для матрицы

${\displaystyle C={\begin{pmatrix}1&2&0&3\\0&1&4&2\\2&0&1&1\\1&3&2&0\end{pmatrix}}}$

зафиксируем первые две строки. Существует ${\displaystyle {\tbinom {4}{2}}=6}$ миноров второго порядка; сумма их произведений на алгебраические дополнения равна:

Столбцы	Минор ${\displaystyle M}$	Знак	Дополнительный минор	Вклад
1, 2	1	+	−2	−2
1, 3	4	−	−3	12
1, 4	2	+	−3	−6
2, 3	8	+	−1	−8
2, 4	1	−	3	−3
3, 4	−12	+	6	−72
Сумма				−79

Полученное значение ${\displaystyle -79}$ совпадает с ${\displaystyle \det C}$.