Алгебраическое дополнение

Алгебраи́ческое дополне́ние для минора $M$ — число, равное $\ (-1)^{s+t}\det A{i_{1},\ldots ,i_{k} \atop j_{1},\ldots ,j_{k}}$ , где $M$ — минор порядка $k$ , расположенный в строках с номерами $i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}$ и столбцах с номерами $j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}$ некоторой квадратной матрицы $A$ порядка $n$ ; $\det A{i_{1},\ldots ,i_{k} \atop j_{1},\ldots ,j_{k}}$ — определитель матрицы порядка $n-k$ , полученной из матрицы $A$ вычёркиванием строк и столбцов минора $M$ ; $s=i_{1}+i_{2}+\ldots +i_{k}$ , $t=j_{1}+j_{2}+\ldots +j_{k}$ ^[1].

Для алгебраических дополнений справедлива следующая теорема Лапласа^[1]:

Если в определителе порядка $n$ фиксировать какие-либо $r$ строк, то сумма произведений миноров $r$ -го порядка, принадлежащих фиксированным строкам, на их алгебраические дополнения равна величине данного определителя.

Запишем алгебраическое дополнение данного элемента $a_{ij}$ определителя $n$ -го порядка в следующем виде^[2]:

$A_{ij}=\ (-1)^{i+j}{\overline {M_{j}^{i}}}$ .

Сумма произведений элементов любой строки (любого столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения этой строки (этого столбца) равна этому определителю.

Соответствующие формулы разложения определителя по $i$ -й строке и по $j$ -му столбцу записывают так:

$\det A=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}$ (для любого $i=1,2,...,n$ );

$\det A=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}$ (для любого $j=1,2,...,n$ ).

Сумма произведений элементов какой-либо строки (или какого-либо столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов любой другой строки (любого другого столбца) равна нулю.

$\ \sum _{j=1}^{n}a_{i_{1}j}A_{i_{2}j}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij_{1}}A_{ij_{2}}=0$ при $i_{1}\neq i_{2}$ и $j_{1}\neq j_{2}$ .

Доказательство

Доказательство проводится для строк (для столбцов проводится аналогично). Записывая подробно:

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}=A_{i1}a_{i1}+A_{i2}a_{i2}+...+A_{in}a_{in}$ ,

приходят к выводу, что поскольку алгебраические дополнения $A_{i1},A_{i2},...,A_{in}$ не зависят от элементов $i$ -й строки $a_{i1},a_{i2},...,a_{in}$ , то это равенство является тождеством относительно $a_{i1},a_{i2},...,a_{in}$ и сохраняется при замене чисел $a_{i1},a_{i2},...,a_{in}$ любыми другими $n$ числами. Заменив $a_{i1},a_{i2},...,a_{in}$ coответствующими элементами любой (отличной от $i$ -й) $k$ -й строки $a_{k1},a_{k2},...,a_{kn}$ , получают в левой части формулы определитель с двумя одинаковыми строками, равный нулю, согласно первому свойству определителя. Таким образом: $A_{i1}a_{k1}+A_{i2}a_{k2}+...+A_{in}a_{kn}=0$ (для любых несовпадающих $i$ и $k$ ). ■

↑ ¹ ² Ремесленников В. Н. Математическая энциклопедия (в 5 томах) / Гл. ред. И.М. Виноградов. — М.: "Советская энциклопедия", 1984. — Т. 1. — С. 188. — 1152 с.
↑ Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: учебник для ВУЗов / Под ред. А. Н. Тихонова. — М.: Наука. Физматлит, 1999. — С. 30. — 296 с.

Математическая энциклопедия (в 5 томах) / Гл. ред. И.М. Виноградов. — М.: "Советская энциклопедия", 1984. — Т. 1. — С. 188. — 1152 с.
Баракова Е.А. Методические материалы по обучению матричному методу решения систем линейных уравнений. — М.: Государственный университет просвещения, 2024.
Ильин В. А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: учебник для ВУЗов / Под ред. А. Н.Тихонова. — М.: Наука. Физматлит, 1999. — 296 с.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. — М.: Наука, 1965. — 431 с.

[:0-1] ¹ ² Ремесленников В. Н. Математическая энциклопедия (в 5 томах) / Гл. ред. И.М. Виноградов. — М.: "Советская энциклопедия", 1984. — Т. 1. — С. 188. — 1152 с.

[2] Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: учебник для ВУЗов / Под ред. А. Н. Тихонова. — М.: Наука. Физматлит, 1999. — С. 30. — 296 с.

[1]

[2]

Алгебраическое дополнение

Теорема Лапласа

Свойства алгебраического дополнения матрицы

См. также

Примечания

Литература

Категории