Аддитивный синтез (звук)

Звуки, которые мы слышим в повседневной жизни, не характеризуются единственной частотой, а напротив, могут рассматриваться как сумма чистых синусоидальных колебаний с разными амплитудами. Когда мы слышим эти звуковые волны (частоты) одновременно, мы можем распознать их как звук и отличать их от других звуков. Это справедливо как для «немузыкальных» (всплеск воды, шелест листьев и т. д.), так и для «музыкальных» звуков (нота, воспроизведённая на пианино или другом музыкальном инструменте или камертоне, щебет птиц, и т. д.). Данный набор параметров (частоты, их относительные амплитуды и характеристики изменения этих амплитуд во времени) являются составляющими тембра звука. Для точного определения параметров тембра используют анализ Фурье звукового сигнала; полученный при таком анализе набор частот и амплитуд называется рядом Фурье данного звукового сигнала.

В музыке каждая нота имеет так называемую фундаментальную частоту — наименьшую частоту её тембра. Вообще говоря, каждый музыкальный звук имеет в своём составе множество разных частот; тем не менее часто для простоты говорят, что музыкальная нота звучит на фундаментальной частоте (например, «до первой октавы имеет частоту 261,63 Гц»)^[3]. Все частоты, помимо фундаментальной, называются обертонами (или гармониками, если эти частоты строго кратны фундаментальной частоте)^[4]. Другими словами, фундаментальная частота отвечает за высоту звука, а обертоны определяют его тембр. Обертоны ноты до, сыгранной на фортепиано, будут немного отличаться от обертонов той же ноты, сыгранной на скрипке; именно это и позволяет нам различать звучания двух разных инструментов. Такие же отличия в тембре (но более тонкие) касаются и различных видов одного и того же инструмента (пример: пианино и рояль).

Аддитивный синтез позволяет воспроизвести тембр, используя эти свойства звука. Используя методы Фурье, можно осуществлять преобразования синусоидальных волн переменной частоты и переменной амплитуды, можно с большой точностью определить тембр звука, который мы хотим создать.

Гармонический аддитивный синтез тесно связан с рядом Фурье, который представляет собой разложение периодической функции в виде ряда из синусоидальных функций с частотами, кратными фундаментальной частоте. Эти синусоиды называют гармониками, обертонами или же парциальными волнами. В общем случае ряд Фурье содержит бесконечное число членов, включая член с нулевой частотой. Однако, так как диапазон слышимых человеком частот ограничен, частоты, выходящие за пределы этого диапазона, можно не учитывать. В результате для аддитивного синтеза можно использовать только ограниченное число частот, попадающих в этот диапазон.

Функция является периодической, если

${\displaystyle y(t)=y(t+P)}$

для всех ${\displaystyle t}$ (${\displaystyle P}$ — период).

Ряд Фурье для периодической функции имеет вид:

${\displaystyle {\begin{aligned}y(t)&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left[a_{k}\cos(2\pi kf_{0}t)-b_{k}\sin(2\pi kf_{0}t)\right]\\&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }r_{k}\cos \left(2\pi kf_{0}t+\phi _{k}\right),\\\end{aligned}}}$

где

• ${\displaystyle f_{0}=1/P}$ — фундаментальная частота, являющаяся обратной величиной по отношению к периоду,
• ${\displaystyle a_{k}=r_{k}\cos(\phi _{k})=2f_{0}\int _{0}^{P}y(t)\cos(2\pi kf_{0}t)\,dt,\quad k\geq 0}$,
• ${\displaystyle b_{k}=r_{k}\sin(\phi _{k})=-2f_{0}\int _{0}^{P}y(t)\sin(2\pi kf_{0}t)\,dt,\quad k\geq 1}$,
• ${\displaystyle r_{k}={\sqrt {a_{k}^{2}+b_{k}^{2}}}}$ — амплитуда ${\displaystyle k}$-го колебания,
• ${\displaystyle \phi _{k}=b_{k}/a_{k}}$ — начальная фаза ${\displaystyle k}$-го колебания.

Компоненту с нулевой частотой, ${\displaystyle a_{0}/2}$, и колебания с частотами выше некоторого конечного предела, ${\displaystyle Kf_{0}}$, можно не учитывать в аддитивном синтезе, так как они не слышны для человеческого уха.