Абсолютное отклонение

В математическом анализе абсолютным отклонением двух функций на заданном сегменте называется следующее значение:

${\displaystyle \Delta =\sup _{a\leqslant x\leqslant b}|f(x)-g(x)|}$,

где ${\displaystyle f(x),g(x)}$ — некоторые функции, ${\displaystyle [a,b]}$ — сегмент, ${\displaystyle \sup }$ — операция взятия супремума.^[1]

В статистике абсолютное отклонение элементов в совокупности данных — абсолютная разница между элементом и выбранной точкой, от которой отсчитывается отклонение.

В случаях, когда заведомо известно, что выбранная точка является константой, а распределение элементов данных симметрично относительно неё, — при отсутствии дополнительных данных за точку отсчёта абсолютного отклонения принимается медиана или среднее значение рассматриваемой совокупности данных:

${\displaystyle |D|=|x_{i}-m(X)|,}$

где

${\displaystyle |D|}$ — абсолютное отклонение,

${\displaystyle x_{i}}$ — элемент совокупности данных,

${\displaystyle m(X)}$ — одно из средних значений совокупности данных; это может быть среднее арифметическое (${\displaystyle {\overline {x}}}$), но чаще всего в качестве среднего значения берётся медиана.

Среднее абсолютное отклонение, или просто среднее отклонение (англ. MAD, mean absolute deviation) — величина, используемая для оценки прогнозных функций:

${\displaystyle MAD={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-m(X)|}$

Выбор среднего значения ${\displaystyle m(X)}$ сильно влияет на среднее отклонение. Например, для совокупности {2, 2, 3, 4, 14}:

Среднее значение ${\displaystyle m(X)}$	Среднее абсолютное отклонение
Среднее арифметическое = 5	${\displaystyle {\frac {|2-5|+|2-5|+|3-5|+|4-5|+|14-5|}{5}}=3.6}$
Медиана = 3	${\displaystyle {\frac {|2-3|+|2-3|+|3-3|+|4-3|+|14-3|}{5}}=2.8}$
Мода = 2	${\displaystyle {\frac {|2-2|+|2-2|+|3-2|+|4-2|+|14-2|}{5}}=3.0}$

Среднее абсолютное отклонение использовалось в качестве оценки отклонения в исследовании операций на заре развития вычислительной техники, так как требовало меньших затрат вычислительных ресурсов по сравнению с более целесообразным среднеквадратическим отклонением^[2].

Если в качестве средней величины выбрать медиану, то среднее абсолютное отклонение окажется наименьшим (из определения медианы). Если же выбрать среднее арифметическое — минимальным окажется среднее квадратическое отклонение: таким образом может определяться само среднее арифметическое^[3].