65 537 (число)

65 537 — наибольшее известное простое число в форме ${\displaystyle 2^{2^{n}}+1}$. Это значит, что правильный 65537-угольник может быть построен с помощью циркуля и немаркированной линейки^[5]. В теории чисел простые числа этой формы известны как простые числа Ферма, названные в честь французского математика Пьера Ферма^[6]. Первые числа Ферма являются простыми и равны^[7][8]

${\displaystyle 2^{2^{0}}+1=2^{1}+1=3,}$

${\displaystyle 2^{2^{1}}+1=2^{2}+1=5,}$

${\displaystyle 2^{2^{2}}+1=2^{4}+1=17,}$

${\displaystyle 2^{2^{3}}+1=2^{8}+1=257,}$

${\displaystyle 2^{2^{4}}+1=2^{16}+1=65\,537.}$

В 1732 году Эйлер показал, что следующее, пятое, число Ферма 4294967297 (число), является составным:

${\displaystyle 2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4\,294\,967\,297=641\times 6\,700\,417.}$

А в 1880 году, Ф. Лэндри показал, что шестое число Ферма 18446744073709551617 также разлагается на множители:

${\displaystyle 2^{2^{6}}+1=2^{64}+1=18\,446\,744\,073\,709\,551\,617=274\,177\times 67\,280\,421\,310\,721.}$