4-тензор

4-тензоры, четырёхте́нзоры — класс математических объектов, используемый для описания некоторых физических полей в релятивистской физике, тензор, определённый на четырёхмерном пространстве-времени^[1].

• Замечание: в литературе 4-тензоры часто называются просто тензорами, а размерность и природа векторного пространства (многообразия), на котором они заданы в этом случае оговариваются явно или очевидны из контекста.

В общем случае 4-тензор является объектом с набором индексов:

${\displaystyle A_{i_{1}i_{2}\ldots i_{n}}^{j_{1}j_{2}\ldots j_{m}},}$

причём каждый из индексов принимает четыре значения (обычно от нуля до трёх или от одного до четырёх, то есть ${\displaystyle i_{1}=0,1,2,3,i_{2}=0,1,2,3}$ итд.

При смене системы отсчёта компоненты этого объекта преобразуются так^[2]:

${\displaystyle A_{i_{1}i_{2}\ldots i_{n}}^{\prime j_{1}j_{2}\ldots j_{m}}=\beta _{j_{1}k_{1}}\beta _{j_{2}k_{2}}\ldots \beta _{j_{m}k_{m}}\alpha _{i_{1}l_{1}}\alpha _{i_{2}l_{2}}\ldots \alpha _{i_{n}l_{n}}A_{l_{1}l_{2}\ldots l_{n}}^{k_{1}k_{2}\ldots k_{m}}}$,

где ${\displaystyle \alpha _{ij}}$ — матрица поворота в четырёхмерном пространстве-времени (матрица группы Лоренца), а ${\displaystyle \beta _{ij}}$ — обратная ей.

Верхние индексы называются контравариантными, а нижние — ковариантными. Суммарное число индексов задаёт ранг тензора. 4-вектор является 4-тензором первого ранга.

Обычно в физике тензоры одинаковой природы с разным числом ковариантных и контравариантных индексов считаются различными представлениями одного и того же объекта. Опускание или поднимание индекса проводится с помощью метрического тензора ${\displaystyle {\hat {g}}}$, например для 4-тензора второго ранга

${\displaystyle A^{ij}=g^{jk}A_{k}^{i}}$

Алгебра внешнего произведения позволяет также вводить для антисимметричных тензоров родственные им дуальные тензоры.