Родился 24 января (6 февраля) 1914 года в селе Верх-Яйва (фактически на Средне-Чаньвинском кордоне) Пермской губернии. Русский. Окончил 3 курса Уральского горного института.
В Красной Армии с августа 1934 года. В 1937 году окончил Оренбургскую военную авиационную школу лётчиков, был оставлен в ней лётчиком-инструктором. В марте-мае 1941 года — лётчик-инструктор Сталинградской военной авиационной школы лётчиков.
В 1941—1951 годах — лётчик-испытатель Лётно-исследовательского института (город Жуковский Московской области). В 1944 году выполнил первый полёт и в дальнейшем провёл испытания высотных истребителей ОКБ А. И. Микояна — И-222, И-225. Провёл испытания одного из лучших истребителей войны Ла-5, участвовал в испытаниях истребителей МиГ-3, И-220, И-250, бомбардировщика Ту-4 и других типов самолётов.
Участник Великой Отечественной войны: в июле-августе 1941 года — лётчик 2-й отдельной истребительной авиационной эскадрильи (ПВО города Москвы), совершил 11 боевых вылетов на истребителе МиГ-3.
В 1951—1954 годах — лётчик-испытатель ОКБ-30 (город Москва). Провёл испытания: новой радиолокационной станции на самолёте Ил-12Д, скоростного планёра-мишени, десантного варианта самолёта Ту-4, различных модификаций самолёта Ли-2.
В 1954—1971 годах — лётчик-испытатель ОКБ А. Н. Туполева (в 1960—1971 годах — начальник лётной службы). Выполнил первый полёт и затем провёл испытания пассажирского самолёта Ту-114 (в 1957 году) и реактивного пассажирского самолёта Ту-104Е (в 1960 году). Участвовал в испытаниях бомбардировщиков Ту-16, Ту-95 и других типов самолётов; провёл испытания по дозаправке в воздухе Ту-16 и Ту-95.
За мужество и героизм, проявленные при испытании новой авиационной техники, полковнику Якимову Алексею Петровичу Указом Президиума Верховного Совета СССР от 22 июля 1966 года присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
С апреля 1971 года полковник А. П. Якимов — в запасе. Жил в городе Жуковский Московской области. Умер 10 марта 2006 года. Похоронен на Быковском кладбище в Жуковском.
СССР
ВВС
