Цепочка Тоды

Уравнение цепочки Тоды удобно анализировать в эквивалентной форме следующего вида

${\displaystyle {\dot {s}}_{n}=f(r_{n})}$

${\displaystyle m{\dot {r}}_{n}=2s_{n}-s_{n+1}-s_{n-1}}$

Можно показать, что уравнения, описывающие динамику цепочки Тоды, имеют решения в виде стационарных бегущих волн, имеющих вид

${\displaystyle s_{n}=S(\theta )=S(\omega t-pn)}$

где функция ${\displaystyle S(\theta )}$ в случае, если ${\displaystyle f(r_{i})=-\alpha (1-\exp(-\beta t))}$, удовлетворяет уравнению

${\displaystyle {\frac {m\omega ^{2}}{\beta }}{\frac {S''}{\alpha +\omega S'}}=S(\theta +p)+S(\theta -p)-S(\theta )}$

Решение этого уравнения выражается через эллиптические функции Якоби:

${\displaystyle S(\theta )=bZ(2K\theta )}$

где

${\displaystyle Z(\theta )=E(\theta )-\theta {\frac {E(K)}{K}}}$ — дзета-функция Якоби, имеющая период 2K

${\displaystyle E(\zeta )=\int \limits _{0}^{\zeta }\mathrm {dn} ^{2}zdz}$

Здесь K — полный эллиптический интеграл первого рода. Связь коэффициентов b и ${\displaystyle \omega }$ с параметрами ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ и m достаточно сложна, однако упрощается в предельных случаях.

Функция ${\displaystyle r_{n}}$ находится из соотношения

${\displaystyle -\alpha \left(1-e^{-\beta r_{n}}\right)={\dot {s}}_{n}=2K\omega b\left(\mathrm {dn} ^{2}2K\theta -{\frac {E}{K}}\right)}$

Особым решением является уединённое локализованное решение солитонного типа. Оно может быть получено в пределе ${\displaystyle K\to \infty }$, при одновременном выполнении условий:

${\displaystyle 2K\omega \to \Omega }$

${\displaystyle 2Kp\to P}$

В этом случае эллиптические функции переходят в гиперболические, и решение принимает вид

${\displaystyle -\alpha \left(1-\beta e^{-r_{n}}\right)={\frac {m\Omega ^{2}}{\beta \operatorname {ch} ^{2}\left[\Omega t-Pn\right]}}}$

М. Тода в своих работах показал, что эти солитоны после взаимодействия друг с другом не изменяют первоначальную форму. Любое начальное распределение в процессе эволюции разделяется на множество солитонов. Точное решение этой задачи было получено методом обратной задачи рассеяния^[4][5].