Центр подобия

Для данной пары окружностей внутренний и внешний центры подобия можно найти различными путями. В аналитической геометрии внутренний центр подобия является средним взвешенным центров окружностей, где вес соответствует радиусу противоположной окружности — расстояния от центров окружностей до внутренней точки подобия пропорциональны противоположным радиусам. Если обозначить центры окружностей ${\displaystyle C_{1}}$ и ${\displaystyle C_{2}}$ как ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ и ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ и их радиусы как ${\displaystyle r_{1}}$ и ${\displaystyle r_{2}}$, а центр подобия ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),}$, то получим:

${\displaystyle (x_{0},y_{0})={\frac {r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}(x_{1},y_{1})+{\frac {r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}(x_{2},y_{2}).}$

Формулу для внешнего центра можно получить из того же уравнения, если формально приписать одному из радиусов знак «минус». Знак какого бы из двух радиусов мы ни изменили, в итоге получится одно и то же соотношение:

${\displaystyle (x_{e},y_{e})={\frac {-r_{2}}{r_{1}-r_{2}}}(x_{1},y_{1})+{\frac {r_{1}}{r_{1}-r_{2}}}(x_{2},y_{2}).}$

Обобщая, если взять радиусы с одним и тем же знаком (оба положительными или оба отрицательными), получим внутренний центр, в то время как радиусы с разными знаками (один положительный, а другой отрицательный) дадут формулу для вычисления внешнего центра подобия. Заметим, что формула для нахождения внутреннего центра остаётся верной для любых радиусов (если только они оба не равны нулю), в то время как для внешнего центра требуется, чтобы радиусы были различны, иначе знаменатель обратится в ноль.

В элементарной геометрии, если нарисованы два параллельных диаметра, по одному в каждой окружности, они будут составлять один и тот же угол α с линией центров. Прямые A₁A₂ и B₁B₂, проведённые через соответствующие конечные точки радиусов, являющиеся гомологичными точками, пересекают друг друга и линию центров во внешнем центре подобия. Прямые же A₁B₂ и B₁A₂, проведённые через одну конечную точку радиуса данной окружности и противоположную конечную точку радиуса другой, пересекают друг друга и линию центров во внутреннем центре подобия.

Если окружности имеют один и тот же радиус (но разные центры), внешнего центра подобия в евклидовой плоскости не существует^[2] — в аналитической геометрии это приводит к делению на нуль, а в классической геометрии прямые ${\displaystyle A_{1}A_{2}}$ и ${\displaystyle B_{1}B_{2}}$ параллельны линии центров (как для секущих, так и для касательных) и потому не пересекаются. Внешний центр подобия можно определить в проективной плоскости как точку на бесконечности, соответствующую пересечению параллельных прямых.

Если окружности имеют один и тот же центр, но различные радиусы (концентрические окружности), внешний и внутренний центры подобия совпадают с общим центром окружностей. Это следует из аналитических формул, а также является предельным случаем при стягивании центров окружностей в одну точку.

Если один радиус равен нулю, а другой не равен нулю (точка и окружность), то и внешний, и внутренний центры подобия совпадают с точкой (центром окружности нулевого радиуса).

Если две окружности идентичны (совпадают центры и радиусы), то внутренний центр подобия — их общий центр, а внешний центр не определён. В предельном переходе при совпадении центров внешний центр уходит на бесконечность, поэтому для совпадающих окружностей внешнего центра подобия не существует.

Если оба радиуса равны нулю (две точки), но точки различны, то внешний центр подобия можно определить как точку на бесконечности, соответствующую направлению линии центров, а внутреннего центра в этом случае нет^[2].

В общем случае луч, исходящий из центра подобия, пересекает каждую окружность в двух местах. Из этих четырёх точек две гомологичны, если радиусы, проведённые из них, составляют один и тот же угол с линией центров, то есть точки A₁ и A₂ на рисунке 3. Точки, которые лежат на одной прямой с центром подобия, но не гомологичные, называются антигомологичными^[8] как, например, точки Q и P′ на рисунке 4.

Если два луча, проведённые из центра подобия, пересекают обе окружности, то любой набор из четырёх взаимно антигомологичных точек лежит на одной окружности^[8].

Пусть из внешнего центра подобия ${\displaystyle E}$ проведены два луча. Первый луч пересекает окружности в гомологичных парах точек ${\displaystyle (P,P')}$ и ${\displaystyle (Q,Q')}$, а второй — в парах ${\displaystyle (R,R')}$ и ${\displaystyle (S,S')}$. Перекрёстные пары точек, такие как ${\displaystyle (Q,P')}$ или ${\displaystyle (S,R')}$, называются антигомологичными. Докажем, что точки ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle R'}$ и ${\displaystyle P'}$ лежат на одной окружности.

По свойству секущих, проведённых к первой окружности из точки ${\displaystyle E}$, верно соотношение:

${\displaystyle EQ\cdot EP=ES\cdot ER.}$

По определению гомотетии с центром ${\displaystyle E}$ и коэффициентом ${\displaystyle k}$, расстояния до точек второй окружности пропорциональны расстояниям до соответствующих точек первой окружности:

${\displaystyle EP'=k\cdot EP\implies EP={\frac {EP'}{k}},}$

${\displaystyle ER'=k\cdot ER\implies ER={\frac {ER'}{k}}.}$

Подставив эти выражения в исходное равенство, получим:

${\displaystyle EQ\cdot {\frac {EP'}{k}}=ES\cdot {\frac {ER'}{k}}.}$

Умножив обе части на ${\displaystyle k}$, находим искомое соотношение:

${\displaystyle EQ\cdot EP'=ES\cdot ER'.}$

Согласно обратной теореме о секущих, равенство произведений отрезков означает, что четырёхугольник ${\displaystyle QSR'P'}$ является вписанным, то есть точки ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle R'}$ и ${\displaystyle P'}$ лежат на одной окружности.

Аналогично из равенства ${\displaystyle EP\cdot EQ'=ER\cdot ES'}$ следует, что точки ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle S'}$ и ${\displaystyle Q'}$ также лежат на одной окружности.

Доказательство для внутреннего центра подобия ${\displaystyle I}$ проводится аналогично, с использованием теоремы о пересекающихся хордах. Для внутренних отрезков верно соотношение:

${\displaystyle IQ\cdot IP'=IS\cdot IR',}$

из чего следует, что точки ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle P'}$ и ${\displaystyle R'}$ лежат на одной окружности.

Для двух окружностей можно определить радикальную ось — прямую, каждая точка которой имеет одинаковую степень точки относительно обеих окружностей. Геометрически это означает, что длины касательных, проведённых из любой точки радикальной оси к обеим окружностям, равны. Радикальная ось всегда перпендикулярна линии центров, а если окружности пересекаются, то их радикальная ось проходит через точки их пересечения (содержит их общую хорду). Для трёх окружностей (взятых попарно: ${\displaystyle C_{1}}$/${\displaystyle C_{2}}$, ${\displaystyle C_{1}}$/${\displaystyle C_{3}}$ и ${\displaystyle C_{2}}$/${\displaystyle C_{3}}$) можно построить три радикальные оси. Если центры окружностей не лежат на одной прямой, эти три оси пересекаются в одной точке — радикальном центре. Длины касательных, проведённых из радикального центра ко всем трём окружностям, одинаковы.

С помощью двух пар антигомологичных точек можно найти точку, лежащую на радикальной оси исходных окружностей. Пусть из внешнего центра подобия ${\displaystyle E}$ проведены два луча (как на рисунке 4). Эти лучи пересекают две заданные окружности (зелёную и синюю) в двух парах антигомологичных точек: первый луч — в точках ${\displaystyle Q}$ и ${\displaystyle P'}$, второй — в точках ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle R'}$. Как было доказано выше, эти четыре точки лежат на одной (новой) окружности, которая пересекает обе исходные.

Поскольку прямая ${\displaystyle QS}$ содержит общую хорду новой и зелёной окружностей, она является их радикальной осью. Аналогично, прямая ${\displaystyle P'R'}$ содержит общую хорду новой и синей окружностей и является их радикальной осью. Точка пересечения этих двух прямых ${\displaystyle G}$ является радикальным центром трёх окружностей — новой и двух исходных. Следовательно, точка ${\displaystyle G}$ обязана обладать равными степенями относительно всех трёх окружностей, а значит, она лежит и на радикальной оси двух исходных (зелёной и синей) окружностей.

Для любой пары антигомологичных точек двух окружностей существует третья окружность, которая касается исходных окружностей в антигомологичных точках.
Обратное также верно — любая окружность, касающаяся двух других окружностей, касается их в антигомологичных точках.

Пусть две окружности имеют центры ${\displaystyle O_{1}}$ и ${\displaystyle O_{2}}$ (Рисунок 5). Пусть ${\displaystyle E}$ — их внешний центр подобия. Проведём произвольный луч из точки ${\displaystyle E}$, пересекающий окружности в точках ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle P'}$ и ${\displaystyle Q'}$. Продолжим ${\displaystyle O_{1}Q}$ и ${\displaystyle O_{2}P'}$ до пересечения в точке ${\displaystyle T_{1}}$.

Треугольники ${\displaystyle O_{1}PQ}$ и ${\displaystyle O_{2}P'Q'}$ подобны. Они равнобедренные, так как ${\displaystyle O_{1}P=O_{1}Q}$ и ${\displaystyle O_{2}P'=O_{2}Q'}$ (радиусы). Следовательно,

${\displaystyle \angle O_{1}PQ=\angle O_{1}QP=\angle O_{2}P'Q'=\angle O_{2}Q'P'=\angle T_{1}QP'=\angle T_{1}P'Q.}$

Значит, треугольник ${\displaystyle T_{1}P'Q}$ также равнобедренный. Тогда существует окружность с центром в ${\displaystyle T_{1}}$ и радиусом ${\displaystyle T_{1}P'=T_{1}Q}$. Эта окружность касается исходных окружностей в точках ${\displaystyle Q}$ и ${\displaystyle P'}$. Аналогично доказывается утверждение для другой пары антигомологичных точек (P и Q′), а также для случая внутреннего центра подобия.

Построив касательные окружности для всех возможных пар антигомологичных точек, получим два семейства окружностей — по одному для каждого центра подобия. Семейство окружностей для внешнего центра подобия таково, что окружности этого семейства либо содержат обе исходные окружности внутри себя, либо ни одной (рисунок 6). С другой стороны, окружности из семейства для внутреннего центра содержат всегда одну из исходных окружностей (рисунок 7).

Все окружности из семейства касательных окружностей имеют общий радикальный центр, который совпадает с центром подобия.

Докажем это. Рассмотрим два луча, проведённых из центра подобия и пересекающих заданные окружности (рисунок 8). Пусть T₁ и T₂ — касательные окружности, касающиеся исходных окружностей в антигомологичных точках. Как было показано выше, эти точки лежат на окружности C, а потому эти два луча являются радикальными осями для C/T₁ и C/T₂. Точка пересечения этих радикальных осей должна лежать также на радикальной оси T₁/T₂. Эта точка пересечения — центр подобия E.

Если две касательные окружности касаются в антигомологичных точках, лежащих на прямой через точку подобия, как на рисунке 5, то из-за подобия ${\displaystyle {\frac {EP}{EP^{\prime }}}={\frac {EQ}{EQ^{\prime }}};{EP}\cdot {EQ^{\prime }}={EQ}\cdot {EP^{\prime }}}$. Но тогда степени точки E по отношению к двум касательным окружностям равны, что означает, что E принадлежит радикальной оси.

Любая пара окружностей имеет два центра подобия, поэтому три окружности будут иметь шесть центров подобия, по два на каждую пару (различных) окружностей. Все эти шесть точек лежат на четырёх прямых, по три точки на каждой прямой^[2]. Доказательство этого факта приведено ниже.

Представим на плоскости три окружности (рисунок 9). Добавим для каждого центра окружностей точку на перпендикуляре к плоскости, отстоящую от исходного центра на расстояние, равное соответствующему радиусу. Точки можно добавить с любой стороны плоскости. Три полученные точки определяют плоскость. В этой плоскости через каждую пару точек проведём три прямые. Эти прямые пересекают плоскость окружностей в точках ${\displaystyle H_{AB}}$, ${\displaystyle H_{BC}}$ и ${\displaystyle H_{AC}}$. Поскольку геометрическим местом точек, которые принадлежат обеим непараллельным плоскостям, является прямая, эти три точки будут лежать на одной прямой. Из подобия треугольников ${\displaystyle H_{AB}AA'}$ и ${\displaystyle H_{AB}BB'}$ следует, что ${\displaystyle {\frac {H_{AB}B}{H_{AB}A}}={\frac {r_{B}}{r_{A}}}}$ (здесь ${\displaystyle r_{A},r_{B}}$ — радиусы), а потому ${\displaystyle H_{AB}}$ является центром подобия двух соответствующих окружностей. Аналогично строятся точки ${\displaystyle H_{BC}}$ и ${\displaystyle H_{AC}}$.

Повторяя процесс для различных комбинаций центров подобия (в этом построении они определяются тем, с какой стороны относительно плоскости выбираются точки), получим четыре прямых — по три центра подобия на каждой прямой (рисунок 10).

Существует и другой метод доказательства.

Пусть ${\displaystyle C_{1}}$ и ${\displaystyle C_{2}}$ — пара сопряжённых окружностей ко всем трём исходным окружностям (рисунок 11). Под сопряжённостью здесь понимается, что окружности принадлежат тому же самому семейству для одной из пар исходных окружностей. Как было показано выше, радикальная ось любых двух касательных окружностей из одного класса проходит через центр подобия двух исходных окружностей. Поскольку касательные окружности являются общими для всех трёх пар исходных окружностей, их центры подобия лежат на радикальной оси ${\displaystyle C_{1}}$ и ${\displaystyle C_{2}}$, то есть на одной прямой.

Это свойство используется в общем решении Жозефа Диаса Жергонна задачи Аполлония. Если даны три окружности, можно найти центры подобия, а затем радикальные оси пар искомых окружностей. При этом существует бесконечно много окружностей с одними и теми же радикальными осями, так что нужна дополнительная работа, чтобы определить в точности, какая пара окружностей является решением.