Формула тонкой линзы (ЕГЭ-ОГЭ)

Фо́рмула то́нкой ли́нзы — это соотношение, связывающее расстояние от линзы до источника (d) и расстояние от линзы до изображения (f) с фокусным расстоянием линзы (F).

Линза, для которой толщина принята равной нулю, в оптике называется «тонкой». Для такой линзы показывают не две главных плоскости, а одну, в которой как бы сливаются вместе передняя и задняя.

Рассмотрим построение хода луча произвольного направления в тонкой собирающей линзе. Для этого воспользуемся двумя свойствами тонкой линзы:

• луч, прошедший через оптический центр линзы, не меняет своего направления;
• параллельные лучи, проходящие через линзу, сходятся в фокальной плоскости.

Рассмотрим луч SA произвольного направления, падающий на линзу в точке A. Построим линию его распространения после преломления в линзе. Для этого построим луч OB, параллельный SA и проходящий через оптический центр O линзы. По первому свойству линзы луч OB не изменит своего направления и пересечёт фокальную плоскость в точке B. По второму свойству линзы параллельный ему луч SA после преломления должен пересечь фокальную плоскость в той же точке. Таким образом, после прохождения через линзу луч SA пойдёт по пути AB.

Аналогичным образом можно построить другие лучи, например луч SPQ.

Обозначим расстояние SO от линзы до источника света через u, расстояние OD от линзы до точки фокусировки лучей через v, фокусное расстояние OF через f. Выведем формулу, связывающую эти величины.

Рассмотрим две пары подобных треугольников: ${\displaystyle \triangle SOA}$ и ${\displaystyle \triangle OFB}$, ${\displaystyle \triangle DOA}$ и ${\displaystyle \triangle DFB}$. Запишем пропорции

${\displaystyle {\frac {OA}{u}}={\frac {BF}{f}};\qquad {\frac {OA}{v}}={\frac {BF}{v-f}}.}$

Разделив первую пропорцию на вторую, получим

${\displaystyle {\frac {v}{u}}={\frac {v-f}{f}};\qquad {\frac {v}{u}}={\frac {v}{f}}-1.}$

После деления обеих частей выражения на v и перегруппировки членов, приходим к окончательной формуле

${\displaystyle {\frac {1}{u}}+{\frac {1}{v}}={\frac {1}{f}}}$

где ${\displaystyle f{\frac {}{}}}$ — фокусное расстояние тонкой линзы.

• ${\displaystyle f>0}$ — для собирающей линзы;
• ${\displaystyle f<0}$ — для рассеивающей;
• ${\displaystyle v>0}$ — для действительного изображения;
• ${\displaystyle v<0}$ — для мнимого;
• ${\displaystyle u>0}$, если на линзу падает расходящийся пучок лучей;
• ${\displaystyle u<0}$, если пучок сходящийся.

Увеличение линзы: ${\displaystyle G={\frac {H}{f}}}$, где ${\displaystyle H}$ — линейный размер изображения, ${\displaystyle h}$ — линейный размер предмета.

Также выполняется соотношение ${\displaystyle G={\frac {v}{u}}}$, где ${\displaystyle H}$

При ${\displaystyle u>0}$ возможны следующие случаи:

1. ${\displaystyle G<1}$ Рассеивающая линза всегда даёт мнимое и уменьшенное изображение предмета (очки для близоруких).
2. ${\displaystyle G>1}$, ${\displaystyle u<v}$ Собирающая линза формирует мнимое изображение предмета, изображение получается увеличенным (лупа).
3. ${\displaystyle u>v}$ — изображение действительное:
4. ${\displaystyle u<2v}$ — изображение увеличенное (проекционный аппарат);
5. ${\displaystyle u>2v}$ — изображение уменьшенное (фотоаппарат)^[1].