Формула Якоби

Пусть ${\displaystyle X(t)}$ — решение уравнения ${\displaystyle {\dot {X}}=A(t)X}$, где ${\displaystyle X,A}$ — матрицы. Тогда:

${\displaystyle \det X=\exp \left(\int _{0}^{t}trA(s)ds\right)\det X(0)}$

Можно доказать, что ${\displaystyle {\dot {(\det X)}}=(\det X)(tr{\dot {X}}X^{-1})}$ ^[1]. В доказуемой формуле ${\displaystyle {\dot {X}}X^{-1}=A(t)}$. Таким образом, функция ${\displaystyle y(t)=\det X(t)}$ удовлетворяет условию ${\displaystyle {\dot {(\ln y)}}={\frac {\dot {y}}{y}}=trA(t)}$. Поэтому ${\displaystyle y(t)=c\exp \left(\int _{0}^{t}trA(s)ds\right)}$, где ${\displaystyle c=y(0)=\det X(0)}$^[2].