Формула Сильвестра

Формула Сильвестра применима для любой диагонализируемой матрицы A с k различными собственными значениями ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}}$ и любой функции f, определённой на некотором подмножестве комплексных чисел, такой что ${\displaystyle f(A)}$ вполне определена. Последнее условие означает, что любое собственное значение ${\displaystyle \lambda _{i}}$ находится в области определения f и что любое собственное значение ${\displaystyle \lambda _{i}}$ с кратностью ${\displaystyle m_{i}>1}$ находится внутри области определения, а сама функция f дифференцируема (${\displaystyle m_{i}-1}$) раз в точке ${\displaystyle \lambda _{i}}$^[4].

Рассмотрим матрицу порядка 2:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3\\4&2\end{bmatrix}}}$.

Эта матрица имеет два собственных значения, 5 и −2. Её коварианты Фробениуса есть:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=c_{1}r_{1}={\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{7}}&{\frac {1}{7}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {3}{7}}&{\frac {3}{7}}\\{\frac {4}{7}}&{\frac {4}{7}}\end{bmatrix}}={\frac {A+2E}{5-(-2)}}\\A_{2}&=c_{2}r_{2}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{7}}\\-{\frac {1}{7}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4&-3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {4}{7}}&-{\frac {3}{7}}\\-{\frac {4}{7}}&{\frac {3}{7}}\end{bmatrix}}={\frac {A-5E}{-2-5}}\end{aligned}}}$.

Формула Сильвестра тогда сводится к:

${\displaystyle f(A)=f(5)A_{1}+f(-2)A_{2}\,}$.

Например, если f определяется выражением ${\displaystyle f(x)=x^{-1}}$, то формула Сильвестра выражает обратную матрицу ${\displaystyle f(A)=A^{-1}}$ как:

${\displaystyle {\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}{\frac {3}{7}}&{\frac {3}{7}}\\{\frac {4}{7}}&{\frac {4}{7}}\end{bmatrix}}-{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}{\frac {4}{7}}&-{\frac {3}{7}}\\-{\frac {4}{7}}&{\frac {3}{7}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-0,2&0,3\\0,4&-0,1\end{bmatrix}}}$.

Формула Сильвестра верна только для диагонализируемых матриц. Расширение, принадлежащее Артуру Буххайму и основанное на многочленах эрмитовой интерполяции, покрывает общий случай^[5]

${\displaystyle f(A)=\sum _{i=1}^{s}\left[\sum _{j=0}^{n_{i}-1}{\frac {1}{j!}}\phi _{i}^{(j)}(\lambda _{i})\left(A-\lambda _{i}E\right)^{j}\prod _{j=1,j\neq i}^{s}\left(A-\lambda _{j}E\right)^{n_{j}}\right]}$,

где ${\displaystyle \phi _{i}(t):=f(t)/\prod _{j\neq i}\left(t-\lambda _{j}\right)^{n_{j}}}$.

Краткую форму позже предложил Ганс Швердтфегер^[6]:

${\displaystyle f(A)=\sum _{i=1}^{s}A_{i}\sum _{j=0}^{n_{i}-1}{\frac {f^{(j)}(\lambda _{i})}{j!}}(A-\lambda _{i}E)^{j}}$,

где ${\displaystyle A_{i}}$ являются соответствующими ковариантами Фробениуса матрицы A.