Формула Клейна — Нисины

Фо́рмула Кле́йна — Ниси́ны — формула, описывающая древесную часть полного сечения комптоновского рассеяния света на электроне. Установлена Оскаром Клейном и Ёсио Нисиной в 1928 году.

Рассеяние электромагнитных волн на заряженных частицах, при котором падающая и рассеянная волна имеют разные частоты, называется комптоновским рассеянием. Дифференциальное и полное сечение такого рассеяния рассчитывается в квантовой электродинамике. Оно наблюдается при рассеянии рентгеновских лучей на электронных оболочках атомов и рассеянии гамма-лучей на электронах и атомных ядрах.

Изменение длины волны ${\displaystyle \Delta \lambda }$ при комптоновском рассеянии определяется формулой:

${\displaystyle \Delta \lambda =2\lambda _{0}\sin ^{2}(\theta /2),\lambda _{0}=h/m_{0}c,\lambda _{0}=2,426\cdot 10^{-12}}$ м,

где ${\displaystyle \lambda _{0}}$ — комптоновская длина волны электрона, ${\displaystyle \theta }$ — угол между направлением падающей и рассеянной волнами, ${\displaystyle h}$ — постоянная Планка, ${\displaystyle m_{0}}$ — масса электрона, а ${\displaystyle c}$ — скорость света.

Частота излучения ${\displaystyle \omega ^{\prime }}$ после рассеяния определяется формулой Комптона:

${\displaystyle \omega ^{\prime }={\frac {\omega }{1+\epsilon (1-\cos \theta )}}}$,

где ${\displaystyle \epsilon =\hbar \omega /m_{0}c^{2},}$ ${\displaystyle \hbar =h/2\pi ,}$ а ${\displaystyle \omega }$ — частота падающей волны. Полное сечение комптоновского рассеяния на свободном электроне^[1]:

${\displaystyle \sigma _{k}=2\pi r_{0}^{2}\left({\frac {1+\epsilon }{\epsilon ^{2}}}\left({\frac {2+2\epsilon }{1+2\epsilon }}-{\frac {\operatorname {ln} (1+2\epsilon )}{\epsilon }}\right)+{\frac {\operatorname {ln} (1+2\epsilon )}{2\epsilon }}-{\frac {1+3\epsilon }{(1+2\epsilon )^{2}}}\right)}$.

Формула подтверждается экспериментально обнаруженным отклонением рассеяния фотонов на электронах при высоких энергиях от низкоэнергетичного томсоновского рассеяния, описываемого в рамках классической электродинамики. Если энергия ${\displaystyle \hbar \omega }$ падающего фотона значительно меньше массы электрона ${\displaystyle m_{0}c^{2}}$, то есть ${\displaystyle \hbar \omega \ll m_{0}c^{2},}$ или ${\displaystyle \lambda \gg \lambda _{0},}$ где ${\displaystyle \lambda _{0}}$ — комптоновская длина волны электрона, то ${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0,}$ и формула Клейна — Нишины сводится к классической формуле Томсона (в частности, отношение частот падающей и рассеянной волн ${\displaystyle \omega /\omega ^{\prime }=1+\epsilon (1-\cos \theta )}$ при этом теряет угловую зависимость и стремится к единице).

При высоких энергиях, когда ${\displaystyle \hbar \omega \gg m_{0}c^{2}}$, формула для полного сечения приобретает вид:

${\displaystyle \sigma _{k}={\frac {\pi r_{0}^{2}}{\epsilon }}\left({\frac {1}{2}}+\operatorname {ln} (2\epsilon )\right)=\pi r_{0}^{2}{\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar \omega }}\left(\operatorname {ln} \;{\frac {2\hbar \omega }{m_{0}c^{2}}}+{\frac {1}{2}}\right)}$.

Интенсивность ${\displaystyle I^{\prime }}$ рассеянного излучения на расстоянии ${\displaystyle R}$ от центра рассеяния связана с интенсивностью ${\displaystyle I}$ падающей волны и отношением частот ${\displaystyle \omega ^{\prime }/\omega }$ соотношением

${\displaystyle I^{\prime }={\frac {I}{R^{2}}}{\frac {\omega ^{\prime }}{\omega }}{\frac {d\sigma }{d\Omega }}}$,

где ${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}}$ — дифференциальное сечение рассеяния.