Фильтр Лежандра

Квадрат амплитудно-частотной характеристики для фильтра порядка ${\displaystyle n}$ выражается через полиномы Лежандра ${\displaystyle L_{n}}$:

${\displaystyle M_{n}^{2}(\omega )={\frac {1}{1+L_{n}(\omega ^{2})}},}$

выбор порядка ${\displaystyle n}$ полинома ${\displaystyle L_{n}}$ производится согласно некоторому критерию качества фильтра, в частности монотонности передаточной характеристики в полосе пропускания и максимально быстрому спаду в полосе подавления. Эти ограничения выражаются^[1]:

${\displaystyle L_{n}(0)=0,}$

${\displaystyle L_{n}(1)=1.}$

Условие монотонности:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \omega }}L_{n}(\omega ^{2})\geq 0.}$

И условие максимальной крутизны в полосе подавления при ${\displaystyle \omega \geq 1}$:

${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \omega }}L_{n}(\omega ^{2})\right|_{\omega =1}={\text{Maximum}}.}$