Фазовый объём

Для описания и решения задач в случаях динамических систем введено понятие фазового пространства. Это абстрактное пространство, в котором каждой точке соответствует состоянию динамической системы, включая начальные. Фазовое пространство может быть многомерным. В случае механических систем, состоящих из ${\displaystyle N}$ частиц (материальных точек), фазовое пространство есть множество, состоящее из элементов, которые представляют собой набор координат и скоростей всех материальных точек, принадлежащих этой системе. Движение точки в фазовом пространстве представляют как её фазовую траекторию, векторы скоростей образуют векторное поле скоростей в фазовом пространстве, и т. д. Таким образом, можно сказать, что для механических систем фазовое пространство представимо как геометрическая интерпретация механического движения^[2].

В фазовом пространстве вводят понятия обобщённых координат ${\displaystyle q_{\text{обобщённые}}=\{q_{1},\,...\,,\,q_{n}\}}$ и обобщённых импульсов ${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}}$​, где ${\displaystyle (i=1,\,...\,,\,n)}$, ${\displaystyle p_{i}={\frac {d{\dot {q}}}{dt}}}$ — обобщённые скорости в фазовом пространстве, ${\displaystyle q_{i}}$ — набор обобщённых координат, ${\displaystyle n}$ — число степеней свободы системы, ${\displaystyle t}$ — время, а ${\displaystyle L=L(q,{\dot {q}},t)}$ — функция Лагранжа данной системы.

Для механической системы в таких обозначениях можно записать обобщённую силу через кинетическую энергию системы ${\displaystyle T}$ и обобщённые скорости ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$ в виде уравнения Лагранжа 2-го рода:

${\displaystyle Q_{i}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}$,

где ${\displaystyle (i=1,\,...\,,\,n)}$.

Фазовый объём в общем случае можно записать как произведение обобщённых координат и обобщённых импульсов:

Для конечной области фазового пространства фазовый объём равен ${\displaystyle 2N}$-мерному интегралу:

В статистической физике фазовым пространством называют многомерное абстрактное пространство, описывающееся системой обобщённых координат и импульсов этой системы с ${\displaystyle N}$ степенями свободы; при этом размерность системы составляет ${\displaystyle 2N}$. В фазовом пространстве, описываемом уравнениями Гамильтона, по теореме Лиувилля фазовый объём остаётся неизменным, и можно ввести нормированные функции распределения в фазовом пространстве.