Условие синусов

Условие синусов было сформулировано Эрнстом Аббе в 1873 г. и, независимо от него, Г. Гельмгольцем в 1874 г.^[2]. Работая в компании Карла Цейсса, Аббе искал путей создания совершенных микроскопов и увеличительных оптических систем, объективов, лишённых аберраций и формирующих совершенные изображения. Совершенным изображением считается не только изображение, лишённое аберраций или компенсирующих их внутри себя с помощью оптических элементов или систем, но и такое, что не только сопряжённые точки на главной оптической оси, в первой из которых помещается объект, а во второй формируется изображение этого объекта, были анаберационными, но и участки предметной плоскости, перпендикулярной главной оптической оси, и проходящей через точку предмета, отображались бы без аберраций. Точки, для которых выполняется это условие и отсутствует или устранена сферическая аберрация, называются апланатическими. На оси оптической системы возможно существование не более трёх пар апланатических точек (за исключением плоского зеркала, у которого все точки апланатические).

Эрнст Аббе вывел необходимое и достаточное условие апланатизма, названное условиями синусов (или условием Аббе, в честь нашедшего его исследователя). Для обеспечения совершенного изображения необходимо, чтобы различные зоны оптической системы давали одинаковое увеличение. Аббе вывел следующее соотношение, благодаря которому может выполняться условие постоянства увеличения оптической системы:

${\displaystyle {\frac {n_{1}\sin \varphi _{1}}{n_{2}\sin \varphi _{2}}}={\frac {Y_{2}}{Y_{1}}}=const=V}$,

где ${\displaystyle n_{1}}$ и ${\displaystyle n_{2}}$ — показатели преломления среды, в которой находится объект и изображение, соответственно, ${\displaystyle V}$ — увеличение системы, постоянное для любой пары сопряжённых лучей, исходящих из точки, лежащей на оси в пределах углов ${\displaystyle \varphi _{1}}$, ${\displaystyle \varphi _{2}}$ с оптической осью системы^[3][4].

Это условие называют условием синусов, или условием синусов Аббе (а также условие апланатизма).

В случае сферической аберрации используется условие изопланатизма:

${\displaystyle {\frac {n_{1}\sin \varphi _{1}}{n_{2}\sin \varphi _{0}}}=const=V}$.

При выполнении условия изопланатизма комы в окрестностях осевой точки не будет. Мера комы определяется выражением:

${\displaystyle \eta [\%]={\Biggl [}{\frac {\sin \varphi _{1}}{\sin \varphi _{0}\cdot V}}-1{\Biggl ]}\cdot 100\%}$.

На рисунке 2 показано изображение тестовой картинки, использовавшейся для определения условия синусов Аббе и качества микроскопов К. Цейсса.

Эффект теней использовался при конструировании микроскопов, однако позже лёг в основу разработок многих оптических устройств. Для увеличения качества изображения и увеличения оптических микроскопов используются иммерсионные жидкости (Аббе использовал кедровое масло).