Ускорение материальной точки

В кинематике рассматривается движение материальной точки с точки зрения геометрии движения, без учета причин, его вызывающих.

Для произвольного движения ускорение материальной точки равно первой производной скорости по времени или второй производной радиус-вектора по времени:

${\displaystyle {\vec {a}}={\dfrac {d{\vec {v}}}{dt}}={\dfrac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}.}$

При криволинейном движении ускорение можно разложить на две составляющие: тангенциальное (касательное) и нормальное (центростремительное).

• Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю и направлено по касательной к траектории движения:

${\displaystyle {\vec {a}}_{\tau }={\dfrac {dv}{dt}}{\vec {\tau }},}$

где ${\displaystyle v}$ — модуль скорости, ${\displaystyle {\vec {\tau }}}$ — единичный вектор касательной к траектории.

• Нормальное ускорение характеризует изменение направления скорости и направлено к центру кривизны траектории:

${\displaystyle {\vec {a}}_{n}={\dfrac {v^{2}}{R}}{\vec {n}},}$

где ${\displaystyle R}$ — радиус кривизны траектории, ${\displaystyle {\vec {n}}}$ — единичный вектор нормали к траектории.

Общее ускорение является суммой этих компонент:

${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {a}}_{\tau }+{\vec {a}}_{n}.}$

Равноускоренное движение — это движение с постоянным по величине и направлению ускорением. Для такого движения справедливы следующие формулы:

${\displaystyle {\vec {v}}(t)={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}(t-t_{0}),}$

${\displaystyle {\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}(t-t_{0})+{\dfrac {\vec {a}}{2}}(t-t_{0})^{2},}$

где ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$ и ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ — начальные скорость и положение точки, ${\displaystyle t_{0}}$ — начальный момент времени.

При прямолинейном движении с постоянным ускорением уравнения движения упрощаются:

${\displaystyle v=v_{0}+a(t-t_{0}),}$

${\displaystyle s=v_{0}(t-t_{0})+{\dfrac {a}{2}}(t-t_{0})^{2},}$

где ${\displaystyle s}$ — перемещение точки.

Если начальная скорость равна нулю (${\displaystyle v_{0}=0}$), то:

${\displaystyle v=at,}$

${\displaystyle s={\dfrac {at^{2}}{2}}.}$

Эти формулы широко используются при решении задач о равномерно ускоренном прямолинейном движении, например, свободном падении тел.

При равномерном движении по окружности модуль скорости остается постоянным, но направление скорости изменяется. Ускорение тела при этом направлено к центру окружности и определяется формулой нормального ускорения:

${\displaystyle a_{n}={\dfrac {v^{2}}{R}}=\omega ^{2}R,}$

где ${\displaystyle \omega }$ — угловая скорость движения.

В случае сложного движения, когда материальная точка движется относительно подвижной системы отсчёта, а эта система движется относительно неподвижной, общее ускорение точки определяется как сумма ускорений:

${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {a}}_{\text{отн}}+{\vec {a}}_{\text{перен}}+2[{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{\text{отн}}],}$

где:

• ${\displaystyle {\vec {a}}_{\text{отн}}}$ — ускорение точки относительно подвижной системы;
• ${\displaystyle {\vec {a}}_{\text{перен}}}$ — переносное ускорение подвижной системы;
• ${\displaystyle {\vec {v}}_{\text{отн}}}$ — скорость точки относительно подвижной системы;
• ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ — угловая скорость вращения подвижной системы.

Второй закон Ньютона связывает ускорение материальной точки с действующей на нее силой:

${\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}},}$

где ${\displaystyle m}$ — масса точки, ${\displaystyle {\vec {F}}}$ — сумма всех сил, действующих на точку.

Это уравнение позволяет определить ускорение точки, если известны действующие на нее силы.

• В системе СИ: метр на секунду в квадрате (м/с²).
• В системе СГС: сантиметр на секунду в квадрате (см/с²).

Для ускорения свободного падения на поверхности Земли используют обозначение ${\displaystyle g}$, приблизительно равное 9,8 м/с².

Ускорение материальной точки — ключевое понятие механики, описывающее изменения движения тел. Различая тангенциальное и нормальное ускорения, можно анализировать сложные виды движения, включая криволинейное и вращательное. Применение законов кинематики и динамики позволяет прогнозировать поведение физических систем под действием различных сил.