Упругое рассеяние

В нерелятивистском классическом случае при рассеянии частицы с массой m₁ на частице с массой m₂ в системе отсчёта, в которой вторая частица до столкновения покоилась, из законов сохранения энергии и импульса следует:

${\displaystyle m_{1}v_{1}^{2}=m_{1}v_{1}'^{2}+m_{2}v_{2}'^{2},}$

${\displaystyle m_{1}v_{1}'\sin \alpha =m_{2}v_{2}'\sin \beta ,}$

${\displaystyle m_{1}v_{1}=m_{1}v_{1}'\cos \alpha +m_{2}v_{2}'\cos \beta ,}$

где ${\displaystyle v_{1}',\,v_{2}'}$ — скорости частиц после столкновения,

${\displaystyle \alpha ,\,\beta }$ — углы, под которыми направлены скорости соответственно частиц 1 и 2 после столкновения по отношению к направлению движения частицы 1 до столкновения.

Угол ${\displaystyle \alpha }$ называется углом рассеяния. Величины допустимых углов рассеяния определяются неравенством ${\displaystyle \sin \alpha \leq m_{2}/m_{1}.}$

В квантовой нерелятивистской теории упругое рассеяние бесспиновых частиц на бесконечности (то есть при расстоянии между сталкивающимися частицами ${\displaystyle r\to \infty }$) можно описать решением уравнения Шрёдингера:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )_{r\to \infty }\sim e^{i\mathbf {kr} }+f(\vartheta )r^{-1}e^{i\mathbf {kr} },}$

где ${\displaystyle \mathbf {k} =\mathbf {p} /\hbar }$ — волновой вектор частицы,

${\displaystyle \mathbf {p} }$ — импульс частицы в системе центра масс,

${\displaystyle \vartheta }$ — угол рассеяния,

${\displaystyle f(\vartheta )}$ — амплитуда рассеяния, которая зависит от угла рассеяния и энергии частиц.

В этом выражении первый член описывает падающие частицы, второй — рассеянные частицы.

Квадрат модуля амплитуды рассеяния в данный угол в системе центра масс равен дифференциальному сечению рассеяния — отношению числа частиц, рассеянных за единицу времени в элемент телесного угла ${\displaystyle d\Omega ,}$ к плотности потока частиц:

${\displaystyle |f(\vartheta )|^{2}={\frac {d\sigma }{d\Omega }}.}$

Амплитуду рассеяния можно разложить в ряд по парциальным волнам, имеющим физический смысл состояний с определённым орбитальным моментом L:

${\displaystyle f(\vartheta )={\frac {1}{2ik}}\sum _{L=0}^{\infty }(2L+1)(S_{L}-1)P_{L}(\cos \vartheta ),}$

где ${\displaystyle P_{L}(\cos(\theta ))}$ — многочлены Лежандра,

${\displaystyle S_{L}=e^{2i\delta _{L}}}$ — элементы матрицы рассеяния — комплексные функции энергии, зависящие от характера взаимодействия.

Для упругого рассеяния ${\displaystyle S_{L}=e^{2i\delta _{L}},}$ где ${\displaystyle \delta _{L}}$ — фаза рассеяния данной парциальной волны.

В случае упругого рассеяния число падающих частиц с данным орбитальным моментом L равно числу рассеянных частиц с тем же моментом, и ${\displaystyle |S_{L}|=1.}$

Амплитуда парциальной волны может быть выражена через элемент S-матрицы и фазу рассеяния как

${\displaystyle f_{L}={\frac {S_{L}-1}{2ik}}={\frac {e^{2i\delta _{L}}-1}{2ik}}={\frac {e^{i\delta _{L}}\sin \delta _{L}}{k}}={\frac {1}{k\operatorname {ctg} \delta _{L}-ik}}.}$

Полное сечение упругого рассеяния ${\displaystyle \sigma ^{\text{el}}}$ равно сумме парциальных сечений со всеми возможными орбитальными моментами:

${\displaystyle \sigma ^{\text{el}}=\sum _{L=0}^{\infty }\sigma _{L}^{\text{el}},}$

${\displaystyle \sigma _{L}^{\text{el}}=\pi \lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}{}^{2}(2L+1)|S_{L}-1|^{2},}$

где ${\displaystyle \lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}=1/k}$ — де-бройлевская длина волны частицы.

Максимальное парциальное сечение (резонанс в упругом рассеянии) достигается при ${\displaystyle S_{L}=-1;}$ оно равно

${\displaystyle \left(\sigma _{L}^{\text{el}}\right)_{\text{max}}=4\pi \lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}{}^{2}(2L+1),}$

причём фаза рассеяния ${\displaystyle \delta _{L}=\pi /2.}$ Следовательно, для резонансных условий сечение упругого рассеяния определяется де-бройлевской длиной волны и, если частица имеет малый импульс (соответственно большую длину волны ${\displaystyle \lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}},}$ значительно превосходящую классический радиус ${\displaystyle R_{0}}$ рассеивающей частицы), наблюдаемое сечение может значительно превосходить классическое сечение рассеяния ${\displaystyle \pi R_{0}^{2}.}$

• Рэлеевское рассеяние — рассеяние света на объектах, размеры которых меньше его длины волны.
• Томсоновское рассеяние — рассеяние фотонов на электронах (или других заряженных частицах) в частном случае, когда энергия фотона пренебрежимо мала по сравнению с массой рассеивающей частицы.
• Комптоновское рассеяние (комптон-эффект) — общий случай рассеяния фотонов на электронах (или других заряженных частицах); при стремлении энергии фотонов к нулю переходит в томсоновское рассеяние.
• Обратное комптоновское рассеяние — рассеяние электронов (или других заряженных частиц) на фотонах.
• Резерфордовское рассеяние (кулоновское рассеяние) — нерелятивистское рассеяние тяжёлых заряженных частиц (в частности, альфа-частиц) на ядрах атомов.