Ундулоид

В 1841 году Шарль Делоне доказал, что единственными поверхностями с постоянной средней кривизной являются поверхности, полученные катанием коник. Это плоскость, цилиндр, сфера, катеноид, ундулоид и нодоид^[1].

Пусть ${\displaystyle \operatorname {sn} (u,k)}$ обозначает нормальную функцию синуса Якоби, а ${\displaystyle \operatorname {dn} (u,k)}$ — нормальная эллиптическая функция Якоби. Далее пусть ${\displaystyle \operatorname {F} (z,k)}$ представляют собой нормальный эллиптический интеграл первого рода и ${\displaystyle \operatorname {E} (z,k)}$ представляют собой нормальный эллиптический интеграл второго рода. Пусть a — длина большой оси эллипса, а e — эксцентриситет эллипса. Пусть k будет фиксированным значением от 0 до 1, называемым модулем.

Тогда эллиптическая цепная линия описывается параметрическими уравнениями:

${\displaystyle x(u)=-a\cdot (1-e)\cdot (\operatorname {F} (\operatorname {sn} (u,k),k)+\operatorname {F} (1,k))-a\cdot (1+e)\cdot (\operatorname {E} (\operatorname {sn} (u,k),k)+\operatorname {E} (1,k))\,}$

${\displaystyle y(u)=a\cdot (1+e)\cdot \operatorname {dn} (u,k)\,}$

А значит её поверхность вращения может быть параметризована следующим образом:

${\displaystyle (x(u),y(u)\cdot \cos v,y(u)\cdot \sin v)}$.

Полученная таким образом фигура вращения эллиптической цепной линии и представляет собой ундулоид.

Есть несколько примеров появления ундулоидов в природе.

Впервый такой прмер задокументирован в 1970 году. При прохождении сильного электрического тока через тонкую (0,16-1,0 мм) горизонтально установленную жёстко вытянутую (не закалённую) серебряную проволоку образуются ундулоиды по её длине. Позже было обнаружено, что это же явление наблюдается и на молибденовой проволоке.

Ундулоиды также были обнаружены в феррожидкостях. Пропуская ток в осевом направлении через цилиндр, покрытый плёнкой вязкой магнитной жидкости, магнитные диполи жидкости взаимодействуют с магнитным полем тока, создавая узор капель по длине цилиндра. Данный процесс приводит к формированию ундулоидов.