Реактивная тяга

Если нет внешних сил, то ракета вместе с выброшенным веществом является замкнутой системой. Импульс такой системы не может меняться во времени.

${\displaystyle {\vec {F}}_{p}=m_{p}\cdot {\vec {a}}=-{\vec {u}}\cdot {\frac {\Delta m_{t}}{\Delta t}}}$, где

${\displaystyle m_{p}}$ — масса ракеты

${\displaystyle {\vec {a}}}$ — её ускорение

${\displaystyle {\vec {u}}}$ — скорость истечения газов

${\displaystyle {\frac {\Delta m_{t}}{\Delta t}}}$ — расход массы топлива в единицу времени

Поскольку скорость истечения продуктов сгорания (рабочего тела) определяется физико-химическими свойствами компонентов топлива и конструктивными особенностями двигателя, являясь постоянной величиной при не очень больших изменениях режима работы реактивного двигателя, то величина реактивной силы определяется в основном массовым секундным расходом топлива^[1].

До начала работы двигателей импульс ракеты и топлива был равен нулю, следовательно, и после включения сумма изменений векторов импульса ракеты и импульса истекающих газов равна нулю: ${\displaystyle m_{p}\cdot \Delta {\vec {v}}+\Delta m_{t}\cdot {\vec {u}}=0}$, где

${\displaystyle \Delta {\vec {v}}}$ — изменение скорости ракеты

${\displaystyle m_{p}\cdot \Delta {\vec {v}}=-\Delta m_{t}\cdot {\vec {u}}}$

Разделим обе части равенства на интервал времени t, в течение которого работали двигатели ракеты:

${\displaystyle m_{p}\cdot {\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}=-{\frac {\Delta m_{t}}{\Delta t}}\cdot {\vec {u}}}$

Произведение массы ракеты m на ускорение её движения a по определению равно силе, вызывающей это ускорение:

${\displaystyle {\vec {F}}_{p}=m_{p}\cdot {\vec {a}}=-{\vec {u}}\cdot {\frac {\Delta m_{t}}{\Delta t}}}$

Если же на ракету, кроме реактивной силы ${\displaystyle {\vec {F}}_{p}}$, действует внешняя сила ${\displaystyle {\vec {F}}}$, то уравнение динамики движения примет вид:

${\displaystyle m_{p}\cdot {\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}={\vec {F}}+{\vec {F}}_{p}\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle m_{p}\cdot {\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}={\vec {F}}+(-{\vec {u}}\cdot {\frac {\Delta m_{t}}{\Delta t}})}$

Формула Мещерского представляет собой обобщение второго закона Ньютона для движения тел переменной массы. Ускорение тела переменной массы определяется не только внешними силами ${\displaystyle {\vec {F}}}$, действующими на тело, но и реактивной силой ${\displaystyle {\vec {F}}_{p}}$, обусловленной изменением массы движущегося тела:

${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {{\vec {F}}_{p}+{\vec {F}}}{m_{p}}}}$

Применив уравнение Мещерского к движению ракеты, на которую не действуют внешние силы, и проинтегрировав уравнение, получим формулу Циолковского^[4]:

${\displaystyle {\frac {m_{t}}{m}}=e^{\frac {v}{u}}}$

Релятивистское обобщение этой формулы имеет вид:

${\displaystyle {\frac {m_{t}}{m}}=\left({\frac {c+v}{c-v}}\right)^{\frac {c}{2u}}}$ , где ${\displaystyle {\vec {c}}}$ — скорость света.