Теория (логика)
В логике теория —это концептуальный класс элементарных высказываний, описывающих свойства и связи определённой области логических исчислений.
Логическую теорию также отождествляют со способом выбора подкласса истинных высказываний (теорем) из числа высказываний, сформулированных на языке данной теории. В самом общем виде логическая теория рассматривается как множество утверждений, замкнутых относительно выводимости, задающей способ выбора теорем.[1]
Данное понятие было введено польским и американским математиком и логиком Альфредом Тарским в 30-е годы XX века.
Как правило, интерес представляют лишь теории, содержащие некоторый минимальный набор формул (аксиом) и замкнутые относительно некоторых правил вывода, специфических для языка.
Термин теория чаще всего употребляется в контексте логики первого порядка, хотя он используется также и для неклассических логик. В контексте модальной логики для аналогичного понятия используются термины модальная логика и нормальная модальная логика (см. статью модальная логика).
Теории логики первого порядка состоят из замкнутых формул.
С точки зрения теории моделей, теория объект чисто семантический, это некий инвариант модели или класс моделей. С другой стороны, аксиоматизация является компактным представленим теории с помощью различных синтаксических механизмов, таких как аксиомы и правила вывода.
Формулы, принадлежащие теории, называются её теоремами.
Полнота
Теория называется непротиворечивой, если она не совпадает со множеством всех формул.
Теория называется полной, если для любой формулы либо , либо .
Каждая модель первого порядка данной сигнатуры естественным образом порождает полную теорию:
(где означает язык первого порядка для сигнатуры ).
Разрешимость
Теория называется разрешимой[2]если задача определения принадлежности данной формулы к этой теории является алгоритмичечски разрешимой.
Эквивалентное определение: теория называется разрешимой[3], если множество Гёделевых номеров формул теории является рекурсивным.