Теория Хорндески

Действие для теории Хорндески может быть записано в виде^[5]

${\displaystyle S[g_{\mu \nu },\phi ]=\int \mathrm {d} ^{4}x\,{\sqrt {-g}}\left[\sum _{i=2}^{5}{\frac {1}{8\pi G_{\text{N}}}}{\mathcal {L}}_{i}[g_{\mu \nu },\phi ]\,+{\mathcal {L}}_{\text{m}}[g_{\mu \nu },\psi _{M}]\right],}$

где

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}=G_{2}(\phi ,\,X)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{3}=G_{3}(\phi ,\,X)\Box \phi }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{4}=G_{4}(\phi ,\,X)R+G_{4,X}(\phi ,\,X)\left[\left(\Box \phi \right)^{2}-\phi _{;\mu \nu }\phi ^{;\mu \nu }\right]}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{5}=G_{5}(\phi ,\,X)G_{\mu \nu }\phi ^{;\mu \nu }-{\frac {1}{6}}G_{5,X}(\phi ,\,X)\left[\left(\Box \phi \right)^{3}+2{\phi _{;\mu }}^{\nu }{\phi _{;\nu }}^{\alpha }{\phi _{;\alpha }}^{\mu }-3\phi _{;\mu \nu }\phi ^{;\mu \nu }\Box \phi \right]}$

Здесь ${\displaystyle G_{N}}$ — гравитационная постоянная, ${\displaystyle G_{i}}$ — произвольные функции скалярного поля ${\displaystyle \phi }$ и ${\displaystyle X\equiv -1/2g^{\mu \nu }\phi _{;\mu }\phi _{;\nu }}$, ${\displaystyle R,G_{\mu \nu }}$ — скаляр Риччи и тензор Эйнштейна, точка с запятой обозначает ковариантную производную, а просто запятая — частную производную.