Теорема существования и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) ${\displaystyle {\vec {\dot {y}}}={\vec {f}}(x,{\vec {y}})}$, где ${\displaystyle {\vec {y}}=(y_{1},...,y_{n})}$ — вектор, ${\displaystyle {\vec {f}}(x,{\vec {y}})=(f_{1}(x,{\vec {y}}),...,f_{n}(x,{\vec {y}}))}$, — векторная функция вектора ${\displaystyle {\vec {y}}}$ и скаляра ${\displaystyle x}$, знак ${\displaystyle {\dot {y}}}$ означает производную ${\displaystyle y}$ по ${\displaystyle x}$. Функции ${\displaystyle {\vec {f}}(x,{\vec {y}})}$ и все их частные производные ${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}(x,y_{1},...,y_{n})}{\partial y_{j}}}}$, ${\displaystyle i,j=1,...,n}$ определены и непрерывны на открытом множестве ${\displaystyle \Gamma }$.

Тогда для каждой точки ${\displaystyle x_{0},{\vec {y_{0}}}\in \Gamma }$, называемой начальными значениями решения, существует решение ОДУ ${\displaystyle {\vec {y}}={\vec {\varphi }}(x)}$, определённое на некотором интервале, содержащем точку ${\displaystyle x_{0}}$ и удовлетворяющее условию ${\displaystyle {\vec {\varphi }}(x_{0})={\vec {y_{0}}}}$, называемым начальными условиями решения.

Если имеются два решения ОДУ ${\displaystyle {\vec {y}}={\vec {\psi }}(x)}$, ${\displaystyle {\vec {y}}={\vec {\chi }}(x)}$, определённых на своих собственных интервалах значений переменной ${\displaystyle x}$, содержащем точку ${\displaystyle x_{0}}$и таких, что ${\displaystyle {\vec {\psi }}(x_{0})={\vec {\chi }}(x_{0})={\vec {y_{0}}}}$, то эти решения совпадают всюду, где они определены. То есть для начальных значений ${\displaystyle x_{0},{\vec {y_{0}}}}$ определено единственное решение ${\displaystyle {\vec {\varphi }}(x,{\vec {y_{0}}},x_{0})}$, удовлетворяющее начальному условию ${\displaystyle {\vec {\varphi }}(x_{0},{\vec {y_{0}}},x_{0})={\vec {y_{0}}}}$.^[3][4]

Функция ${\displaystyle {\vec {\varphi }}(x,{\vec {y_{0}}},x_{0})}$ и её частные производные ${\displaystyle {\frac {{\vec {\varphi }}f_{i}(x,{\vec {y_{0}}},x_{0})}{\partial y_{0}}}}$, ${\displaystyle i=1,...,n}$ непрерывно зависят от переменных ${\displaystyle x,{\vec {y_{0}}},x_{0}}$.

Смешанные производные ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varphi _{i}(x,{\vec {y_{0}}},x_{0})}{\partial x\partial ^{j}y_{0}}}}$, ${\displaystyle i,j=1,...,n}$ существуют, непрерывны по ${\displaystyle t,{\vec {x_{0}}}}$ и не зависят от порядка дифференцирования.^[3]