Теорема о рациональных корнях

Теорема о рациональных корнях — теорема алгебры, устанавливающая, что числитель любого рационального корня многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена, а знаменатель — делителем старшего коэффициента.

Теорема даёт конечный список возможных рациональных корней, которые проверяются подстановкой. После нахождения корня r многочлен делится на (x−r) без остатка, давая многочлен меньшей степени, корни которого также являются корнями исходного.

Для кубического уравнения с целыми коэффициентами наличие рационального корня r позволяет вынести множитель (x−r), сводя уравнение к квадратному, которое решается через дискриминант. Если рациональных корней нет, решения выражаются через кубические корни.

Из равенства P(p/q)=0 после умножения на q^n свободный член переносится вправо, а левая часть делится на p. Следовательно, p делит a0 q^n, и из взаимной простоты p и q вытекает, что p делит a0. Аналогично, перенося старший член и вынося q, заключают, что q делит an.

Для многочлена со старшим коэффициентом 2 и свободным членом 1 возможные корни — ±1 и ±1/2. Ни один из них не обращает многочлен в ноль, поэтому у него нет рациональных корней.

Возможные рациональные корни — делители числа 6 и делители единицы в знаменателе. Из них числа 1, 2 и 3 обращают многочлен в ноль и являются его корнями.

В алгебре теоре́ма о рациона́льных корня́х (также тест на рациона́льные ко́рни) определяет рамки для рациональных корней многочлена вида:

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}=0$

с целыми коэффициентами $a_{i}$ и $a_{0},a_{n}\neq 0$ .

Теорема утверждает, что каждый рациональный корень $x=p/q$ , где $p$ и $q$ — взаимно простые числа, удовлетворяет условию, что:

$p$ является делителем свободного члена $a_{0}$ ,

$q$ является делителем старшего коэффициента $a_{n}$ .

Теорема о рациональных корнях является частным случаем леммы Гаусса.

Теорема используется для нахождения всех рациональных корней многочлена, если таковые существуют. С её помощью определяется конечное количество возможных решений, подлежащих проверке подстановкой. Если рациональный корень $x=r$ найден, исходный многочлен может быть поделён без остатка на $x-r$ с получением многочлена меньшей степени, чьи корни также являются корнями исходного многочлена.

Кубическое уравнение

Кубическое уравнение в общем виде:

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

с целыми коэффициентами имеет три решения в комплексных числах. Если тест на рациональные корни не выявляет таковых, то единственным способом выражения решений является использование кубических корней. Однако в случае выявления хотя бы одного рационального решения r, вынесение (x-r) за скобки приводит к квадратному уравнению, которое возможно решить через дискриминант.

Пусть:

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0},a_{0},...a_{n}\in Z$ .

Предположим, что $P(p/q)=0$ для некоторых взаимно простых целых $p$ и $q$ :

$P\left({\frac {p}{q}}\right)=a_{n}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n-1}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n-1}+...+a_{1}\left({\frac {p}{q}}\right)+a_{0}=0$ .

Умножая обе части уравнения на $q^{n}$ , вынося $p$ за скобки и перенося свободный член с противоположным знаком в правую часть уравнения, получаем:

$p(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+...+a_{1}q^{n-1})=-a_{0}q^{n}$ .

Видно, что $p$ является делителем $a_{0}q^{n}$ . Но $p$ и $q$ — взаимно простые числа, значит, $p$ также должно быть делителем $a_{0}$ .

Если, напротив, перенести старший член в правую часть уравнения и вынести $q$ за скобки, получим:

$q(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+...+a_{0}q^{n-1})=-a_{n}p^{n}$ .

Сделаем вывод о делимости $a_{n}$ на $q$ ^[1].

Пример 1

Каждый рациональный корень многочлена

$2x^{3}+x-1$

должен иметь делитель единицы в числителе и делитель двойки в знаменателе. Таким образом, возможными рациональными корнями являются $\pm {\frac {1}{2}}$ и $\pm 1$ . Однако ни один из них не обращает выражение в ноль, следовательно, многочлен рациональных корней не имеет.

Пример 2

Каждый рациональный корень многочлена

$x^{3}-7x+6$

должен иметь делитель шестёрки в числителе и делитель единицы в знаменателе, откуда возможными корнями являются $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$ . Из них $1$ , $2$ и $-3$ обращают выражение в ноль, являясь, таким образом, корнями многочлена.

↑ Arnold, Denise. 4 unit mathematics. — Melbourne: Edward Arnold, 1993. — 306 pages с.

Miller C. D., Lial M. L., Schneider D. I. Fundamentals of college algebra (англ.). — 3rd edition. — Scott & Foresman/Little & Brown Higher Education, 1990. — P. 216–221. — ISBN 0-673-38638-4.
Jones P. S., Bedient J. D. The historical roots of elementary mathematics (англ.). — Dover Courier Publications, 1998. — P. 116–117. — ISBN 0-486-25563-8.
Larson R. Calculus: an applied approach (англ.). — Cengage Learning, 2007. — P. 23–24. — ISBN 978-0-618-95825-2.

[1] Arnold, Denise. 4 unit mathematics. — Melbourne: Edward Arnold, 1993. — 306 pages с.

[1]

Теорема о рациональных корнях

Применение

Кубическое уравнение

Доказательство

Примеры

Пример 1

Пример 2

Примечания

Литература

Категории