Теорема Шварца о дуге

Теорема Шварца о дуге определяет ограничения на длину дуги с кривизной, не превышающей определённого значения. Теорема приписывается Герману Шварцу, в честь которого и названа^[1]^[2]^[3]^[4].

Предположим, что пара точек $p$ и $q$ разбивает единичную окружность на две дуги с длинами $\ell \leq L$ . Тогда любая кривая кривизны не больше 1, соединяющая точки $p$ и $q$ , имеет длину либо не больше $\ell$ , либо не меньше $L$ .

Лемма о луке, доказанная Акселом Шуром, появилась как обобщение теоремы Шварца^[5].

↑ W. Blaschke, Vorlesungen uber Differentialeometrie, Vol. 1, third revised edition 1945,Dover, New York, pg. 63.
↑ S. S. Chern, Differential Geometry, Mimeographed notes—University of Chicago, 1954.
↑ E. Schmidt, Uber das eoctremum der Bogenldnge einer raumkurve bei vorgeschreibeneneinschrdnkungen ihrer krummung, Sitzungsberichte Akad. Berlin (1925), 485—490.
↑ A. Schur, Uber die Schwarzsche extremaleigenschaft des kreises unter den kurvenkonstanter Krummung, Mathematische Annalen, 83 (1921), 143—148.
↑ Schur, Axel; Über die Schwarzsche Extremaleigenschaft des Kreises unter den Kurven konstanter Krümmung. Math. Ann. 83 (1921), no. 1-2, 143—148.

[1] W. Blaschke, Vorlesungen uber Differentialeometrie, Vol. 1, third revised edition 1945,Dover, New York, pg. 63.

[2] S. S. Chern, Differential Geometry, Mimeographed notes—University of Chicago, 1954.

[3] E. Schmidt, Uber das eoctremum der Bogenldnge einer raumkurve bei vorgeschreibeneneinschrdnkungen ihrer krummung, Sitzungsberichte Akad. Berlin (1925), 485—490.

[4] A. Schur, Uber die Schwarzsche extremaleigenschaft des kreises unter den kurvenkonstanter Krummung, Mathematische Annalen, 83 (1921), 143—148.

[5] Schur, Axel; Über die Schwarzsche Extremaleigenschaft des Kreises unter den Kurven konstanter Krümmung. Math. Ann. 83 (1921), no. 1-2, 143—148.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Теорема Шварца о дуге

Формулировка

Вариации и обобщения

Примечания

Категории