Теорема Хопфа — Ринова

Для линейно связного риманова многообразия ${\displaystyle M}$ следующие утверждения эквивалентны:

• ${\displaystyle M}$ ― полно (то есть риманово многообразие полно как метрическое пространство);
• для каждой точки ${\displaystyle p\in M}$ экспоненциальное отображение ${\displaystyle \exp _{p}:T_{p}\to M}$ определено на всем ${\displaystyle T_{p}}$ (где ${\displaystyle T_{p}}$ ― касательное пространство к ${\displaystyle M}$ в точке ${\displaystyle p}$);
• каждое множество, ограниченное и замкнутое в ${\displaystyle M}$, компактно.

• Любые две точки ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ в линейно связном полном римановом многообразии можно соединить геодезической длины равной расстоянию между ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$;
• Любая геодезическая в линейно связном полном римановом многообразии продолжается неограниченно.

• Теорема Хопфа — Ринова верна для пространств с внутренней метрикой, не обязательно римановой (например, финслеровой)^[2]: если ${\displaystyle (X,\rho )}$ — локально компактное полное метрическое пространство с внутренней метрикой, то любое замкнутое ограниченное множество в ${\displaystyle (X,\rho )}$ компактно. В частности любые две точки пространства ${\displaystyle X}$ можно соединить кратчайшей.^[3]
  • Это утверждение было обобщено на случай несимметричных метрик.^[4]

• Теорема Хопфа — Ринова не верна в бесконечномерном случае^[5], а также в случае псевдоримановых многообразий^[6].
  • Более того, существуют компактные лоренцевы многообразия, не являющиеся геодезически полным, например тор Клифтона — Поля.