Теорема Слуцкого

Пусть дано вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$, и ${\displaystyle X_{n},Y_{m}:\Omega \to \mathbb {R} ,\,n,m\in \mathbb {N} }$ — случайные величины. Тогда если

${\displaystyle X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X}$,

где ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$ — случайная величина, и

${\displaystyle Y_{m}\to ^{\!\!\!\!\!\!\mathbb {P} }c}$,

где ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ — константа, то

${\displaystyle X_{n}+Y_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X+c}$

и

${\displaystyle X_{n}\cdot Y_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}c\cdot X}$.

Пусть в предположениях классической теоремы имеется непрерывная функция ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$. Тогда

${\displaystyle f(X_{n},Y_{n})\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}f(X,c)}$.