Интерполяционное пространство

Пусть ${\displaystyle A,B,C,D,E,F}$ — банаховы пространства, ${\displaystyle A,B}$ и ${\displaystyle C,D}$ — две банаховы пары, а ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle F}$ — промежуточные банаховы пространства между ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$ соответственно. Тройка ${\displaystyle (A,B,E)}$ называется интерполяционной относительно тройки ${\displaystyle (C,D,F)}$, если всякий ограниченный оператор из пары ${\displaystyle A,B}$ в пару ${\displaystyle C,D}$ отображает пространство ${\displaystyle E}$ в пространство ${\displaystyle F}$. Пространство ${\displaystyle E}$ называется интерполяционным между пространствами банаховой пары ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, если ${\displaystyle A}$ совпадает с ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle B}$ совпадает с ${\displaystyle D}$ и ${\displaystyle E}$ совпадает с ${\displaystyle F}$^[1].

Банаховой парой называются два банаховых пространства ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, алгебраически и топологически вложенные в некоторое отделимое топологическое линейное пространство ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$.^[2]

Банахово пространство ${\displaystyle B}$ вложено в банахово пространство ${\displaystyle A}$, если:

1. из ${\displaystyle x\in B}$ следует, что ${\displaystyle x\in A}$;
2. пространство ${\displaystyle A}$ индуцирует на ${\displaystyle B}$ структуру векторного пространства, совпадающую со структурой векторного пространства ${\displaystyle B}$;
3. существует такая константа ${\displaystyle C_{AB}}$, что ${\displaystyle \|x\|_{A}\leqslant C_{AB}\|x\|_{B}}$ для всех ${\displaystyle x\in B}$^[3].

Банахово пространство ${\displaystyle C}$ называется промежуточным для пары банаховых пространств ${\displaystyle A,B}$, если имеются вложения ${\displaystyle (A\cap B)\subset C\subset (A+B)}$. Символ ${\displaystyle \subset }$ означает алгебраическое и непрерывное вложение. Для того, чтобы банахово пространство ${\displaystyle C}$ было промежуточным, достаточно, чтобы оно было алгебраически и непрерывно вложено в пространство ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$, содержало в себе пространство ${\displaystyle A\cap B}$ и содержалось в пространстве ${\displaystyle A+B}$^[4].