Теорема Пуанкаре о векторном поле

Пусть на гладком замкнутом многообразии ${\displaystyle M}$ определено гладкое векторное поле ${\displaystyle V}$, имеющее конечное число изолированных особых точек ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}}$. Тогда

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}J_{A_{i}}(V)=\chi (M),}$

здесь ${\displaystyle J_{A_{i}}(V)}$ — индекс точки ${\displaystyle A_{i}}$ относительно поля ${\displaystyle V}$ и число ${\displaystyle \chi (M)}$ — эйлерова характеристика многообразия ${\displaystyle M}$.

Для случая двумерных многообразий теорема была доказана Пуанкаре в 1885 году. Для многообразий произвольной размерности результат был получен Хопфом в 1926 году^[1].

• Аналогичные теоремы были доказаны для векторных полей с неизолированными особыми точками и для многообразий с особенностями^[2][3].