Теорема Ельмслева о серединах

Если точки ${\displaystyle A,B,C,\dots }$ на прямой переводятся движением в точки ${\displaystyle A',B',C',\dots }$, то середины отрезков ${\displaystyle AA',BB',CC',\dots }$ лежат на одной прямой.

Можно считать, что отображение ${\displaystyle m\colon A\mapsto A'}$ меняет ориентацию; если нет то возьмём его композицию с осевой симметрией во второй прямой. Тогда, по теореме Шаля ${\displaystyle m}$ является скользящей симметрией. Отсюда немедленно следует, что все середины лежат на оси скользящей симметрии.