Теорема Адамара о вложении

• Погружение и вложение. Гладкое отображение ${\displaystyle f:\Sigma \to \mathbb {R} ^{3}}$ называется погружением, если его дифференциал инъективен в каждой точке (образ локально — гладкая поверхность, но глобально возможны самопересечения); вложением называется погружение, являющееся гомеоморфизмом на образ, — поверхность без самопересечений^[16].
• Гауссово отображение. Для ориентированной поверхности гауссово отображение ${\displaystyle N:\Sigma \to S^{2}}$ сопоставляет точке единичную нормаль; его якобиан равен гауссовой кривизне ${\displaystyle K=\det dN}$, поэтому условие ${\displaystyle K>0}$ равносильно невырожденности ${\displaystyle dN}$ (локальной диффеоморфности ${\displaystyle N}$)^[17].
• Овалоид и локальная выпуклость. Овалоид — компактная связная поверхность в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ с ${\displaystyle K>0}$; условие ${\displaystyle K>0}$ эквивалентно знакоопределённости второй квадратичной формы, то есть строгой локальной выпуклости: вблизи каждой точки поверхность лежит строго по одну сторону от своей касательной плоскости^[18][1].
• Накрытие. Накрытие — непрерывное сюръективное отображение ${\displaystyle p:E\to X}$, у которого каждая точка ${\displaystyle x\in X}$ обладает окрестностью ${\displaystyle U}$, прообраз ${\displaystyle p^{-1}(U)}$ которой распадается на непересекающиеся открытые множества (листы), отображаемые ${\displaystyle p}$ гомеоморфно на ${\displaystyle U}$ (иными словами, локально тривиальное расслоение с дискретным слоем). Число листов постоянно на каждой компоненте связности базы; если база односвязна и локально линейно связна (для многообразий это автоматически), а ${\displaystyle E}$ связно, то лист ровно один, то есть накрытие — гомеоморфизм. В частности, всякое гладкое накрытие сферы ${\displaystyle S^{2}}$ связной поверхностью — диффеоморфизм: односвязность сферы исключает нетривиальные накрытия, а компактность накрывающей поверхности тогда уже не нужна как гипотеза — она следует автоматически^[19].

Пусть ${\displaystyle \Sigma }$ — замкнутая (компактная, связная, без края) гладкая поверхность, ${\displaystyle f:\Sigma \to \mathbb {R} ^{3}}$ — погружение, гауссова кривизна которого всюду положительна: ${\displaystyle K>0}$. Тогда^[20][1][2]:

• ${\displaystyle \Sigma }$ ориентируема и диффеоморфна сфере ${\displaystyle S^{2}}$;
• ${\displaystyle f}$ — вложение, то есть поверхность ${\displaystyle f(\Sigma )}$ не имеет самопересечений;
• ${\displaystyle f(\Sigma )}$ является границей выпуклого тела в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ (поверхность строго выпукла: лежит строго по одну сторону от каждой своей касательной плоскости);
• гауссово отображение ${\displaystyle N:\Sigma \to S^{2}}$ — диффеоморфизм: каждое направление нормали реализуется ровно в одной точке.

Компактные связные поверхности с ${\displaystyle K>0}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ традиционно называются овалоидами; теорема Адамара означает, что любой погружённый овалоид вложен и выпукл^[1].

Условие положительности кривизны существенно: при наличии точек с ${\displaystyle K<0}$ замкнутая погружённая поверхность может быть невыпуклой и самопересекающейся (например, «гантель» с перешейком, где кривизна отрицательна) — см. рисунок ниже.

Доказательство распадается на три шага^[1][21].

1. Топология. По теореме Гаусса — Бонне ${\displaystyle \int _{\Sigma }K\,d\sigma =2\pi \chi (\Sigma )}$; из ${\displaystyle K>0}$ следует ${\displaystyle \chi (\Sigma )>0}$, и единственная замкнутая поверхность с положительной эйлеровой характеристикой — сфера; она ориентируема, и погружение снабжается глобальной единицей нормали ${\displaystyle N}$.
2. Гауссово отображение — накрытие. Поскольку ${\displaystyle K=\det dN>0}$, отображение ${\displaystyle N:\Sigma \to S^{2}}$ — локальный диффеоморфизм; локальный диффеоморфизм компакта на связное многообразие есть накрытие. Сфера ${\displaystyle S^{2}}$ односвязна, значит накрытие однолистное, то есть ${\displaystyle N}$ — диффеоморфизм.
3. От инъективности к выпуклости. Если ${\displaystyle N}$ инъективно, то функция высоты в любом направлении имеет на ${\displaystyle \Sigma }$ ровно один максимум (и один минимум); следовательно, поверхность касается каждой своей опорной плоскости ровно в одной точке и лежит по одну сторону от неё. Отсюда — строгая выпуклость ${\displaystyle f(\Sigma )}$, а выпуклая поверхность, очевидно, вложена.

Второе и третье утверждения и составляют содержание теоремы; примечательно, что самопересечения исключаются «бесплатно» — чисто топологическим аргументом о накрытиях^[4].

Лемма о функции высоты (деталь шага 3). Для единичного вектора ${\displaystyle u}$ рассмотрим функцию высоты ${\displaystyle h_{u}(p)=\langle f(p),u\rangle }$. Её критические точки — в точности точки с ${\displaystyle N(p)=\pm u}$; по шагу 2 таких точек ровно две. Значит, ${\displaystyle h_{u}}$ имеет единственный глобальный максимум и единственный глобальный минимум; опорная плоскость ${\displaystyle \langle x,u\rangle =\max h_{u}}$ касается поверхности ровно в одной точке, и поверхность лежит строго по одну сторону от неё. Поскольку ${\displaystyle u}$ произвольно, поверхность совпадает с границей пересечения всех опорных полупространств — выпуклого тела; строгая выпуклость и вложенность следуют^[4]. На рисунке — механизм нарушения выпуклости: у невыпуклой замкнутой кривой функция высоты имеет четыре критические точки, и у двух локальных максимумов нормали параллельны — ситуация, исключаемая инъективностью ${\displaystyle N}$.

Замечания о доказательстве. (1) Достаточно гладкости ${\displaystyle C^{2}}$. (2) Аргумент о накрытиях — частный случай глобальной теоремы Адамара об обратной функции: собственный локальный диффеоморфизм есть накрытие, а накрытие односвязного многообразия связным — диффеоморфизм; компактность ${\displaystyle \Sigma }$ даёт собственность автоматически. (3) Альтернативный путь — через выпуклую оболочку: локальная выпуклость и максимум-принцип («катящаяся сфера») показывают, что поверхность локально совпадает с границей своей выпуклой оболочки, а по связности — глобально^[21].

Стокер в той же работе 1936 года дополнил результат Адамара некомпактным случаем: полная незамкнутая погружённая поверхность в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ с ${\displaystyle K>0}$ вложена и является графиком над некоторой выпуклой областью плоскости; в частности, она диффеоморфна ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, тогда как компактный случай (теорема Адамара) даёт ${\displaystyle S^{2}}$^[5][1]. Типичный пример — эллиптический параболоид (рисунок). Оба результата — о замкнутых и о полных поверхностях — совместно называют теоремой Адамара—Стокера^[1]. Условие полноты существенно: связная часть сферы (например, сфера с вырезанной шапкой) имеет ${\displaystyle K>0}$, но графиком над выпуклой областью не является — ортогональная проекция такой поверхности на плоскость не инъективна, хотя её образ и выпукл^[1].

• Нестрогая кривизна. Если вместо ${\displaystyle K>0}$ потребовать лишь локальную выпуклость (положительную полуопределённость второй квадратичной формы), выводы о вложенности и выпуклости сохраняются, но выпуклость перестаёт быть строгой (возможны плоские участки); именно эта форма удобна для обобщений^[1][10].
• Высшие размерности. При ${\displaystyle n\geqslant 2}$ компактная связная гиперповерхность в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ с положительной секционной кривизной вложена, ограничивает выпуклое тело, а её гауссово отображение — диффеоморфизм ${\displaystyle S^{n}\to S^{n}}$: доказательство дословно то же, ибо ${\displaystyle S^{n}}$ односвязна^[1][10].
• Полная кривизна. В теории полной кривизны Черна—Лашофа теорема Адамара — случай равенства: полная кривизна любого погружения замкнутой поверхности не меньше ${\displaystyle 2}$, и равенство достигается лишь для выпуклых овалоидов; вариант для ${\displaystyle K\geqslant 0}$ опирается на вторую статью Черна—Лашофа^[8][9].
• Искривлённые объёмлющие пространства. В адамаровых многообразиях заключение теоремы верно для локально выпуклых гиперповерхностей (Александер, 1977—1978)^[1][11]; для произведений ${\displaystyle H^{n}\times \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle S^{n}\times \mathbb {R} }$ и искривлённых произведений теоремы типа Адамара—Стокера получены Эспинаром—Гальвесом—Розенбергом, Эспинаром—Розенбергом, Оливейрой—Швейцером и де Лимой — в направлении, начатом работами до Карму и его школы^[1][14][15].
• Дискретный аналог. Для выпуклых многогранников роль гауссова отображения играет соответствие «грань — конус нормалей»; теоремы А. Д. Александрова о существовании и единственности выпуклого многогранника с данной метрикой — дискретный аналог соответствующих теорем гладкой теории^[22].
• Другие теоремы Адамара. Метод «локальный диффеоморфизм + топология ⇒ глобальный диффеоморфизм» роднит теорему о вложении с теоремой Картана — Адамара и глобальной теоремой Адамара об обратной функции; не связаны с ними «теоремы трёх кругов» и «трёх прямых» комплексного анализа.

• Проблема Вейля и теория выпуклых поверхностей. В задаче об изометричном вложении метрики положительной кривизны (решена А. В. Погореловым, 1969—1973) теорема Адамара обеспечивает саму постановку: всякое погружение такой метрики автоматически вложение и выпуклая поверхность; аналогично в проблеме Минковского о поверхности заданной кривизны^[23].
• Уравнения типа Монжа — Ампера. Диффеоморфность гауссова отображения означает равномерную эллиптичность соответствующего уравнения и даёт априорные оценки; на этом построены методы решения проблемы Вейля и проблемы Минковского (Л. Ниренберг, Погорелов)^[23].
• Жёсткость и единственность. Теоремы Кон-Фоссена, Герглотца, Бляшке о единственности и жёсткости овалоидов опираются на выпуклость, гарантируемую теоремой Адамара^[6].
• Полная кривизна и тугие погружения. Характеризация выпуклых вложений как погружений минимальной полной кривизны (Черн—Лашоф) и теория тугого (taut) погружения выросли из этой теоремы^[8].
• Оценки в духе выпуклой оболочки. Замкнутая поверхность с ${\displaystyle K>0}$, охватывающая данное множество, содержит его выпуклую оболочку; проекция на оболочку не увеличивает площадь, откуда следуют изопериметрические оценки минимальной площади охватывающих поверхностей^[4].