Тензор поляризуемости

В вакууме электрическое поле достаточно охарактеризовать с помощью только одного вектора — напряжённости электрического поля ${\displaystyle {\vec {E}}}$. В средах необходимо учитывать дополнительные факторы — наличие векторов электрической индукции ${\displaystyle {\vec {D}}}$ или вектора поляризации ${\displaystyle {\vec {P}}}$. В вакууме вектор поляризации равен нулю, ${\displaystyle {\vec {P}}=0}$, а вектор электрической индукции совпадает с вектором напряжённости электрического поля ${\displaystyle {\vec {E}}}$:

${\displaystyle {\vec {D}}={\vec {E}}}$. (1)

В веществе вектор электрической индукции ${\displaystyle {\vec {D}}}$ ответственен за вклад сторонних зарядов, а вектор поляризации ${\displaystyle {\vec {P}}}$ — за вклад связанных зарядов в полное внутреннее электрическое поле. Следует понимать, что вектора ${\displaystyle {\vec {D}}}$ и ${\displaystyle {\vec {P}}}$ искусственные, введённые для облегчения решения задач электростатики.

Для получения аналитической зависимости вектора ${\displaystyle {\vec {E}}}$ от ${\displaystyle {\vec {P}}}$, называемой материальным уравнением, нужно рассчитать смещение электронов и ядер, возникающие после включения внешнего электрического поля, что является сложной задачей, не имеющей аналитических решений в большинстве практических случаев.

Для приближённого решения этой задачи считают, что связь между векторами поляризуемости и электрического поля линейна для электрических полей, напряжённость которых меньше внутриатомных. В этом случае решение задачи разделяется для изотропных и анизотропных веществ (кристаллов и диэлектриков).

Для изотропных веществ (например, ряда диэлектриков) зависимость векторов ${\displaystyle {\vec {E}}}$ от ${\displaystyle {\vec {P}}}$ линейна, и материальное уравнение примет вид:

${\displaystyle {\vec {P}}=\alpha {\vec {E}},}$ (2)

где ${\displaystyle \alpha }$ — поляризуемость диэлектрика, или диэлектрическая восприимчивость. Поскольку

${\displaystyle {\vec {D}}\equiv {\vec {E}}+4\pi {\vec {P}},}$ (3)

то

${\displaystyle {\vec {D}}={\vec {E}}+4\pi {\vec {P}}=(1+4\pi \alpha )=\epsilon {\vec {E}},}$ (4)

где определена диэлектрическая проницаемость среды ${\displaystyle \epsilon =(1+4\pi \alpha ).}$ В вакууме ${\displaystyle \alpha =0}$, ${\displaystyle \epsilon =1}$, а ${\displaystyle {\vec {D}}={\vec {E}}}$.

В анизотропных средах направления векторов ${\displaystyle {\vec {E}}}$ и ${\displaystyle {\vec {P}}}$ не совпадают. Для таких сред необходимо рассматривать более сложную линейную зависимость компонент векторов, в общем случае которую можно записать в виде:

${\displaystyle P_{i}=\sum _{j}\alpha _{ij}E_{j}.}$ (5)

Представим выражение (5) в виде системы уравнений для компонент вектора электрического поля:

${\displaystyle {\begin{cases}P_{x}=\alpha _{xx}E_{x}+\alpha _{xy}E_{y}+\alpha _{xz}E_{z}\\P_{y}=\alpha _{yx}E_{x}+\alpha _{yy}E_{y}+\alpha _{yz}E_{z}\\P_{x}=\alpha _{zx}E_{x}+\alpha _{zy}E_{y}+\alpha _{zz}E_{z}\end{cases}},}$ (6)

где ${\displaystyle \alpha _{ij}}$ — безразмерные коэффициенты, зависящие от выбора системы координат.

Совокупность коэффициентов ${\displaystyle \{\alpha _{ij}\}}$ называют тензором поляризуемости диэлектрика.

Для вектора электрической индукции аналогично:

${\displaystyle D_{i}=\sum _{j}\epsilon _{ij}E_{j},}$ (7)

где ${\displaystyle \{\epsilon _{ij}\}}$ — тензор диэлектрической проницаемости вещества, для которого выполняется ${\displaystyle \epsilon _{ij}=\delta _{ij}+4\pi \alpha _{ij}.}$

Тензоры ${\displaystyle \{\alpha _{ij}\}}$ и ${\displaystyle \{\epsilon _{ij}\}}$ симметричны:

${\displaystyle \alpha _{ij}=\alpha _{ji},}$ ${\displaystyle \epsilon _{ij}=\epsilon _{ji}.}$ (8)

Видно, что в веществе, помещаемом во внешнее электрическое поле, суммарное внутреннее поле не равно внешнему по величине и отличается по направлению.