Сходимость по Пуассону — Абелю

Пусть ${\displaystyle A}$ обозначает числовой ряд ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}$ Ряд ${\displaystyle A}$ называется сходящимся по Пуассону — Абелю, если существует предел:^[1]

${\displaystyle \lim _{x\to 1-0}\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}x^{k}=s_{p}(A)}$

Рассмотрим ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}}$. Этот ряд сходится по Пуассону — Абелю: ${\displaystyle \lim _{x\to 1-0}(1-x+x^{2}-...)=\lim _{x\to 1-0}{\frac {1}{1+x}}={\frac {1}{2}}}$

• Если ${\displaystyle A}$ — сходящийся ряд, то он сходится по Пуассону — Абелю и ${\displaystyle s_{p}(A)=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$^[2].
• Если ряды ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ сходятся по Пуассону — Абелю, то и их произведение ${\displaystyle C}$ сходится по Пуассону — Абелю и ${\displaystyle s_{p}(A)s_{p}(B)=s_{p}(C)}$^[3].