Степенная функция с натуральным показателем, её график

Степенна́я фу́нкция — функция $y=x^{a}$ , где $a$ (показатель степени) — некоторое вещественное число^[1]^[2]. К степенным часто относят и функцию вида $y=kx^{a}$ , где $k$ — некоторый (ненулевой) коэффициент^[3].

Функция вида $y=x^{n}$ , где $y=n$ — натуральное число $(n\in \mathbb {N} )$ , называется степенной функцией с натуральным показателем.

Область определения

Поскольку выражение $y=x^{n}$ , где $(n\in \mathbb {N} )$ , имеет смысл при любых $x$ , то областью определения степенной функции с натуральным показателем всегда будет множество действительных чисел $\mathbb {R}$ .

Свойства, а также график степенной функции с натуральным показателем зависят от конкретного значения показателя степени.

Если показатель степени $n=1$ , то функция примет вид $y=x$ . Эта функция является линейной, нечётной, монотонно возрастающей. Её графиком является прямая, проходящая через начало координат. График функции симметричен относительно начала координат.
Если показатель степени чётный ( $n=2k$ , где $k\in N$ ), то функция примет вид $y=x^{2k}$ . Её графиком является парабола, симметричная относительно оси ординат. Функция, монотонно убывающая слева от оси ординат и монотонно возрастающая — справа.
Если показатель степени нечётный ( $n=2k+1$ , где $k\in N$ ), то функция примет вид $y=x^{2k+1}$ . Функция нечётная, монотонно возрастающая на всей числовой прямой. Форма графика аналогична кубической параболе, график симметричен относительно начала координат.
Если показатель степени $n=0$ ^[4], то функция примет вид $y=x^{0}=1$ . Эта функция чётная (по определению), её график симметричен относительно оси ординат, параллелен оси абсцисс и отстоит от неё на 1 в положительном направлении.