Сохраняющийся ток

Сохраняющийся ток — понятие, используемое в математическом аппарате физики, для описания процессов переноса сохраняющейся физической величины, например электрического заряда.^[1] В математических векторных обозначениях он обозначается как величина $j^{\mu }$ , которая удовлетворяет уравнению непрерывности $\partial _{\mu }j^{\mu }=0$ .^[1] Уравнение непрерывности представляет собой закон сохранения, отсюда и произошло название.

Действительно, интегрирование уравнения непрерывности по объему $V$ , c поверхностью, через которую не текут токи, приводит к закону сохранения

{\frac {\partial }{\partial t}}Q=0

{\textstyle Q=\int _{V}j^{0}dV}

сохраняющаяся величина

В калибровочных теориях калибровочные поля рассматриваются совместно с сохраняющимися токами.^[2] Например, электромагнитное поле рассматривается совместно с сохраняющимся электрическим током.

Сохраняющийся ток - это поток канонически сопряженной величины, обладающей непрерывной трансляционной симметрией. Уравнение непрерывности для сохраняющегося тока является математической формулировкой закона сохранения. Примерами канонически сопряженных величин являются:

Время и энергия - непрерывная трансляционная симметрия (однородность) времени подразумевает сохранение энергии
Пространство и импульс - непрерывная трансляционная симметрия (однородность) пространства подразумевает сохранение импульса
Пространство и угловой момент - непрерывная "вращательная" симметрия (однородность относительно вращений) пространства подразумевает сохранение углового момента

Сохраняющиеся токи играют чрезвычайно важную роль в теоретической физике, потому что теорема Нётер связывает существование сохраняющегося тока с существованием симметрии некоторой величины в исследуемой системе. С практической точки зрения, все сохраняющиеся токи являются нётеровыми токами, поскольку существование сохраняющегося тока подразумевает существование симметрии. Сохраняющиеся токи играют важную роль в теории дифференциальных уравнений в частных производных, поскольку существование сохраняющегося тока указывает на существование интегралов движения, которые необходимы для интегрируемости системы. Закон сохранения выражается как обращение в нуль 4-дивергенции, где Нётеров заряд образует нулевую составляющую 4-тока.

Сохранение заряда, например, в обозначениях уравнений Максвелла,

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0

где

$\rho$ является плотностью электрического заряда
j является плотностью тока $\mathbf {J} =\rho \mathbf {v}$

с v как скоростью зарядов.

↑ ¹ ² Дж. Бернстейн Элементарные частицы и их токи. — М., Мир, 1970. — c. 25-26
↑ Коноплева Н.П., Попов В.Н. Калибровочные поля. — М., Наука, 1980. — с. 52

[Bern-1] ¹ ² Дж. Бернстейн Элементарные частицы и их токи. — М., Мир, 1970. — c. 25-26

[2] Коноплева Н.П., Попов В.Н. Калибровочные поля. — М., Наука, 1980. — с. 52

[1]

[2]

Сохраняющийся ток

Сохраняемые величины и симметрии

Сохраняющиеся токи в электромагнетизме

См. также

Примечания

Категории