Играл за молодёжные команды «Црвены звезды» с 1963 года[1], с 1967 года выступал за основную команду. В составе «Црвены звезды» Славнич два раза побеждал в чемпионате и трижды выигрывал кубок страны, а в 1974 году — Кубок кубков[1].
С разрешения баскетбольного союза Югославии в 1977 году Зоран Славнич перешёл в испанский «Ховентут»[2], с которым в первом же сезоне выиграл чемпионат Испании[1]. Позже вернулся в Югославию, играл за «Шибенка» и «Партизан», став одним из немногих баскетболистов, игравших за оба известнейших белградских клуба. Последний сезон (1982/83) провёл в итальянском клубе «Индезит Казерта», сыграл 33 матча[3].
В 1991 году Зоран Славнич вошёл в число 50 величайших игроков ФИБА[4].
В составе сборной Югославии Зоран Славнич выигрывал чемпионат мира 1978 и Олимпийский турнир 1980 года, трижды становился чемпионом Европы[2].
Всего за сборную Югославии Зоран Славнич провёл 179 матчей, в которых набрал 1465 очков[5].
После завершения игровой карьеры, Славнич тренировал югославские «Партизан», «Црвену звезду», «Югопластику» и «Шибенку», испанские «Уникаху» и «Ховентут», греческие «Дафни» и «Ираклис», сербские «Беобанку» и «Атлас», немецкий « Брозе Бамберг»[5].
На ЧЕ-1987 был ассистентом Крешимира Чосича в национальной сборной Югославии, по итогам турнира команда выиграла бронзовые медали.
29 мая 2007 года по рекомендации Экспертного совета Баскетбольного союза Сербии Славнич стал главным тренером сборной Сербии[5]. Под его руководством сборная выступила на чемпионате Европы неудачно, не сумела отобраться на Олимпиаду. Славнич был отправлен в отставку, Экспертный совет был распущен[6], преемником Славнича стал Душан Ивкович[7].
Югославия → 
Сербия.svg){kind=small}
.svg){kind=small}
.svg){kind=small}
.svg){kind=small}
.svg){kind=small}